搜索回溯算法—全排列（leetcode 46）_怎么用搜索和回溯做全排列

题目描述

给定一个不含重复数字的数组 nums ，返回其 所有可能的全排列 。你可以 按任意顺序 返回答案。

示例 1：

输入：nums = [1,2,3]
输出：[[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]]

示例 2：

输入：nums = [0,1]
输出：[[0,1],[1,0]]

示例 3：

输入：nums = [1]
输出：[[1]]

提示：

    1 <= nums.length <= 6
    -10 <= nums[i] <= 10
    nums 中的所有整数 互不相同

算法分析

方法一：回溯

思路和算法

这个问题可以看作有 n个排列成一行的空格，我们需要从左往右依此填入题目给定的 n 个数，每个数只能使用一次。那么很直接的可以想到一种穷举的算法，即从左往右每一个位置都依此尝试填入一个数，看能不能填完这 n个空格，在程序中我们可以用「回溯法」来模拟这个过程。

我们定义递归函数 backtrack(first, output) 表示从左往右填到第 first个位置，当前排列为 output。 那么整个递归函数分为两个情况：

    如果 first==n，说明我们已经填完了 n个位置（注意下标从 0开始），找到了一个可行的解，我们将 output放入答案数组中，递归结束。
    如果 first

使用标记数组来处理填过的数是一个很直观的思路，但是可不可以去掉这个标记数组呢？毕竟标记数组也增加了我们算法的空间复杂度。

答案是可以的，我们可以将题目给定的 nnn 个数的数组 nums划分成左右两个部分，左边的表示已经填过的数，右边表示待填的数，我们在回溯的时候只要动态维护这个数组即可。

具体来说，假设我们已经填到第 first个位置，那么 nums 数组中 [0,first−1]是已填过的数的集合，[first,n−1]是待填的数的集合。我们肯定是尝试用 [first,n−1]里的数去填第 first个数，假设待填的数的下标为 i，那么填完以后我们将第 iii 个数和第 first个数交换，即能使得在填第 first+1个数的时候 nums数组的[0,first]部分为已填过的数，[first+1,n−1]为待填的数，回溯的时候交换回来即能完成撤销操作。

举个简单的例子，假设我们有 [2, 5, 8, 9, 10] 这 5 个数要填入，已经填到第 3 个位置，已经填了 [8,9] 两个数，那么这个数组目前为 [8, 9 | 2, 5, 10] 这样的状态，分隔符区分了左右两个部分。假设这个位置我们要填 10 这个数，为了维护数组，我们将 2 和 10 交换，即能使得数组继续保持分隔符左边的数已经填过，右边的待填 [8, 9, 10 | 2, 5] 。

代码

1、不用其它存储空间标记是否访问

class Solution {
public:
    void backtrack(vector<vector<int>> &res, vector<int> &output, int first, int len) {
        if(first == len) {
            res.push_back(output);
            return;
        }
        for(int i = first; i < len; ++i) {
            swap(output[i], output[first]);
            backtrack(res, output, first+1, len);
            swap(output[i], output[first]);
        }
 
    }
    vector<vector<int>> permute(vector<int>& nums) {
        vector<vector<int>> res;
        backtrack(res, nums, 0, nums.size());
        return res;
    }
};

 2、借用标记数组标记是否访问

class Solution {
public:
    void backtrack(vector<int> &nums) {
        if(track.size() == n) {
            res.push_back(track);
            return;
        }
        for(int i = 0; i < n; ++i) {
            if(!status[i]) {
                track.push_back(nums[i]);
                status[i] = true;
                backtrack(nums);
                track.pop_back();
                status[i] = false;
            }
        }
    }
    vector<vector<int>> permute(vector<int>& nums) {
        n = nums.size();
        status.resize(n, false);
        backtrack(nums);
        return res;
    }
private:
    vector<vector<int>> res;
    vector<bool> status;
    vector<int> track;
    int n;
};

时间复杂度分析

    时间复杂度：O(n×n!)，其中 n为序列的长度。

    空间复杂度：O(n)，其中 n为序列的长度。除答案数组以外，递归函数在递归过程中需要为每一层递归函数分配栈空间，所以这里需要额外的空间且该空间取决于递归的深度，这里可知递归调用深度为 O(n)。