第十五届蓝桥杯省赛PythonB组B题【数字串个数】题解（AC）_第十五届蓝桥杯python大学b组

设 $n=10000$。

法一

1. 枚举 $3$ 的个数以及 $7$ 的个数，假设 $3$ 的个数为 $i$，$7$ 的个数为 $j$，那么非 $3,7$ 的个数即为 $n-i-j$。
2. 在长度为 $n$ 的字符串中选取 $i$ 的方案数为 $C_n^i$，在剩余 $n-i$ 个位置选取 $j$ 个的方案数为 $C_{n-i}^j$，剩余位置个数为 $n-i-j$，可选择的内容为 { 1 , 2 , 4 , 5 , 6 , 8 , 9 } \{1, 2, 4, 5, 6, 8, 9\} {1,2,4,5,6,8,9}，共七个，故方案数为 $7^{n-i-j}$，乘积即为答案。

法二

1. 枚举 $3$ 与 $7$ 的个数之和，假设 $3$ 与 $7$ 的个数和为 $i$，那么非 $3,7$ 的个数即为 $n-i$。
2. 在长度为 $n$ 的字符串中选取 $i$ 个的方案数为 $C_n^i$，在剩余 $n-i$ 个位置选取非 $3,7$ 的方案数为 $7^{n-i}$。
3. $3,7$ 的个数和为 $i$，假设题目无要求 $3,7$ 最少各为一个，那么每个位置有两种选择，故方案数为 $2^i$，由于 $2^i$ 种方案中存在全 $3$ 和全 $7$ 的情况，所有有效方案数为 $2^i-2$。

法一

MOD = int(1e9 + 7)

def qmi(a, b):
    res = 1
    while b > 0:
        if b & 1:
            res = res * a % MOD
        a = a * a % MOD
        b >>= 1
    return res

n = 10000
N = int(1e4 + 10)
f = [[0 for i in range(N)] for i in range(N)]
def init():
    for i in range(0, n + 1):
        for j in range(0, i + 1):
            if j == 0:
                f[i][j] = 1
            else:
                f[i][j] = (f[i - 1][j] + f[i - 1][j - 1]) % MOD

init()

res = 0
for i in range(1, n - 1 + 1):
    for j in range(1, n - i + 1):
        res = (res + f[n][i] * f[n - i][j] * qmi(7, n - i - j)) % MOD

print(res)
1
2
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7
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法二

MOD = int(1e9 + 7)

def qmi(a, b):
    res = 1
    while b > 0:
        if b & 1:
            res = res * a % MOD
        a = a * a % MOD
        b >>= 1
    return res

n = 10000
N = int(1e4 + 10)
f = [[0 for i in range(N)] for i in range(N)]
def init():
    for i in range(0, n + 1):
        for j in range(0, i + 1):
            if j == 0:
                f[i][j] = 1
            else:
                f[i][j] = (f[i - 1][j] + f[i - 1][j - 1]) % MOD

init()

res = 0
for i in range(2, n + 1):
    res = (res + f[n][i] * qmi(7, n - i) * (qmi(2, i) - 2)) % MOD

print(res)
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运行结果：

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