从流形的观点分析神经网络

无意中看到一本用数学分析神经网络的书，里面用各种数学工具来分析神经网络（如数学分析、线性代数、流形、信息论、概率论、优化等），书的信息如下：

Ovidiu Calin, Deep Learning Architectures - A Mathematical Approach, Springer, 2020.

我看了用流形解释神经网络那一章的前面几页，觉得写的还不错，记录一下。
考虑一个神经元，输入是 $\text{x}\in {\mathbb{R}}^n$，输出是 $y=\sigma (w^T\text{x}+b)\in \mathbb{R}$。不妨取 $\sigma$ 是 logistic function。则集合
S = { σ ( w T x + b ) ; w ∈ R n , b ∈ R } S=\{\sigma(w^T\textbf{x}+b );w\in\mathbb{R}^n,b\in \mathbb{R} \} S={σ(wTx+b);w∈Rn,b∈R}
是一个 $n+1$ 维的流形。它可以看成是${\mathbb{R}}^n$上全体连续函数空间（其维数是无穷维）的一个子流形。事实上，计算得
$$\begin{gathered} \frac{\partial y}{\partial b}={\sigma }^{\prime }(w^T\text{x}+b)=y(1-y) \\ \frac{\partial y}{\partial w_j}={\sigma }^{\prime }(w^T\text{x}+b)x_j=y(1-y)x_j \end{gathered}$$
我们说明 { ∂ y ∂ b , ∂ y ∂ w j } \{\frac{\partial{y}}{\partial{b}},\frac{\partial{y}}{\partial{w_j}}\} {∂b∂y​,∂wj​∂y​}线性无关。若${\alpha }_0\frac{\partial y}{\partial b}+{\sum }_{i=1}^n{\alpha }_i\frac{\partial y}{\partial w_i}=0$，则代入得${\alpha }_{0}y(1-y)+{\sum }_{i=1}^n{\alpha }_{i}y(1-y)x_j=0$，由$y(1-y)\ne 0$ 知道 ${\alpha }_0+{\sum }_{i=1}^n{\alpha }_i{x}_j=0$。再由$x_j$任意性即得结论。从而Jacobian矩阵$J_y$满秩（为$n+1$）。
接下来，训练神经网络的过程实际上是拟合一个函数$z=z(\text{x})$。如果$z$在流形$S$上，那么存在$w^{\ast }\in {\mathbb{R}}^n,b^{\ast }\in \mathbb{R}$使得$z=y^{\ast }=y(w^{\ast },b^{\ast })$。然而，更一般的情况是$z\notin S$，这意味着需要找$w^{\ast }\in {\mathbb{R}}^n,b^{\ast }\in \mathbb{R}$使得
$$(w^{\ast },b^{\ast })=\underset{w,b}{\mathrm{argmin}}dist(z,S)$$
给定初值$(w_0,b_0)$，一个学习算法会产生一个序列$(w_n,b_n{)}_n$，期望它收敛到$(w^{\ast },b^{\ast })$。按作者原话：If the parameters update is made continuously (implied by an infinitesimal learning rate), then we obtain a curve $c(t)=(w(t),b(t))$ joining $(w_0,b_0)$ and $(w^{\ast },b^{\ast })$. This can be lifted to the curve $\gamma (t)=y\circ c(t)$ on the manifold $S$. The fastest learning algorithm corresponds to the “shortest” curve between $y(w_0,b_0)$ and $y(w^{\ast },b^{\ast })$. The attribute “shortest” depends on the intrinsic geometry of the manifold $S$, and this topic will be discussed in the next section. 这样这个优化问题就可以和后面的黎曼度量、测地线等概念建立关联了。
对一般的神经网络，如果我们增大神经元的个数，则对应的参数也相应增多，$S$的维数也增加。记$M=C([0,1])$，我们知道对于任意固定的 $ϵ>0$，以及任意的$f\in M$，总有一个足够高维数的$S$使得$dist(f,S)<ϵ$，其中
$$dist(f,S)=\underset{s\in S}{\inf }\underset{x\in [0,1]}{\max }|f(x)-s(x)|$$
然而实际问题中神经元个数是受限的，如何处理也是作者讨论的话题。