石子合并 区间dp

石子合并

题目描述

设有 N 堆石子排成一排，其编号为 1，2，3，…，N。

每堆石子有一定的质量，可以用一个整数来描述，现在要将这 N 堆石子合并成为一堆。

每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。

例如有 4 堆石子分别为 1 3 5 2， 我们可以先合并 1、2 堆，代价为 4，得到 4 5 2， 又合并 1，2 堆，代价为 9，得到 9 2 ，再合并得到 11，总代价为 4+9+11=24；

如果第二步是先合并 2，3 堆，则代价为 7，得到 4 7，最后一次合并代价为 11，总代价为 4+7+11=22。

问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小，输出最小代价。

输入格式

第一行一个数 N 表示石子的堆数 N。

第二行 N 个数，表示每堆石子的质量(均不超过 1000)。

输出格式

输出一个整数，表示最小代价。

数据范围

1≤N≤300

输入样例

4
1 3 5 2
1
2

输出样例

22
1

区间dp

题目分析

状态表示f(i,j):所有将第i堆石子到第j堆石子合并成一堆石子的合并方式
			属性:Min
状态计算f(i,j) --  [1|2|3|……|k-2|k-1]

一堆石子   i———————————j
可以分成   [i,k],[k+1,j]
f[i,j] = min{f[i,k] + f[k+1,j] + s[j] - s[i-1]}k:[l,j-1]
1
2
3
4
5
6
7

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 310;
int n;
int s[N];
int f[N][N];

int main(){
    cin >> n;

    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        cin >> s[i];
        s[i] += s[i - 1];//前缀和
    }

    // 区间 DP 枚举套路：长度+左端点 
    for (int len = 1; len < n; len ++) { // len表示i和j堆下标的差值
        for (int i = 1; i + len <= n; i ++) {
            int j = i + len; // 自动得到右端点
            f[i][j] = 1e8;
            for (int k = i; k <= j - 1; k ++) { // 必须满足k + 1 <= j
                f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k + 1][j] + s[j] - s[i - 1]);
            }
        }
    }

    cout << f[1][n] << endl;

    return 0;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33