【线性代数】[第六章：二次型][自用]

1 知识点

1.1 二次型的定义，矩阵表示形式

（1）

1.2  二次型的标准型、规范型

（1）只有平方项的二次型。（混合项的系数全为0）

（2）如果标准型中，系数只有1，-1和0，那么称为二次型的规范型，因为标准型中，1，-1，0的个数是由正负惯性指数决定的，而合同的矩阵正负惯性指数相同，因此相互合同的矩阵乘以相同的向量组得到的二次型的规范型一定相同。

（3）区别：

1. 求一个二次型的正负惯性指数，是通过求特征值得到，为正数的特征值的个数就是正惯性指数，即规范型中1的个数。
2. 一个二次型的标准型不唯一，规范型唯一。

1.3 线性变化

（1）注意，这里必须是可逆变换，具体看例题（6）

1.4 化二次型为标准型的方法

（1）正交变化法：

【总结】：求标准型的方法就是按照实对称矩阵对角化的步骤，把二次型的矩阵作为实对称矩阵，求出Q，然后做正交变换x=Qy（xy为列向量），得到下图，然后把向量组中的每个xi根据Q替换为yi，即可得到标准型。

（2）配方法：（劣势：时刻要保证可逆）

1. 注意事项：