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【数学建模笔记】3.非线性规划

作者：花生_TL007 | 2024-05-05 05:21:36

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非线性规划

1.非线性规划的实例与定义

如果目标函数或约束条件中包含非线性函数，就称这种规划问题为非线性规划问题。

例1：（投资决策问题）

某企业拥有n个项目可供选择投资，并且至少要对其中一个项目投资。已知该企业拥有总资金A元，投资于第i（i=1,....n)个项目需花费资金ai元，并预计可收益bi元，试选择最佳投资方案。

2.非线性规划的数学模型

一般形式：

$min\, f\left ( x \right )$

$s.t\begin{Bmatrix} h_{j}\left ( x \right )\leq 0\, j=1,2,...q\\ g_{i}\left ( x \right )= 0\, i=1,2,...p \end{Bmatrix}$

在一组等式或不等式的约束下，求一个函数的最大值（或最小值）问题，其中至少有一个非线性函数，这类问题称之为非线性规划问题。

matlab中非线性规划的数学模型写成以下形式：

$min\, f\left ( x \right )$

$s.t.\left\{\begin{matrix} Ax\leqslant b\\ Aeqx=beq\\ c\left ( x \right )\leqslant 0\\ ceq\left ( x \right )=0\\ lb\leqslant x\leqslant ub \end{matrix}\right.$

其中f(x)是标量函数，A,b,Aeq,beq,lb,ub是相应维数的矩阵和向量，c(x),ceq(x)是非线性向量函数

matlab中的命令是：

[x,fval]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)

x的返回值是决策向量x的取值;

fval返回的是目标函数的取值;

fun是用M文件定义的函数;

x0是x的初始值;

A,b,Aeq,beq定义了线性约束Ax<=b,Aeqx=beq,如果没有线性约束，则A=[ ],b=[ ],Aeq=[ ],beq=[ ];

lb和ub是变量x的下界和上界，如果上界和下界没有约束，即x无下界也无上界，则lb=[ ],ub=[ ]，也可以写成lb的各分量都为-inf，ub的各分量都为inf;

nonlcon是用M文件定义的非线性向量函数c(x),ceq(x)；

options定义了优化参数，可以使用matlab缺省的参数设置。

例2：求下列非线性规划

$min\, f\left ( x \right )=x{_{1}}^{2}+x{_{2}}^{2}+x{_{3}}^{2}+8$

$s.t.\left\{\begin{matrix} x{_{1}}^{2}-x_{2}+x{_{3}}^{2}\geq 0\\ x_{1}+x{_{2}}^{2}+x{_{3}}^{2}\leqslant 20\\ -x_{1}-x{_{2}}^{2}+2=0\\ x_{2}+2x{_{3}}^{2}=3\\ x_{1},x_{2},x_{3}\geqslant 0 \end{matrix}\right.$

解：

(1)编写M文件fun1.m定义目标函数


function f=fun1(x);
f=sum(x.^2)+8;

(2)编写M文件fun2.m定义非线性约束条件


function [g,h]=fun2(x);
g=[-x(1)^2+x(2)-x(3)^2
   x(1)+x(2)^2+x(3)^2-20];
h=[-x(1)-x(2)^2+2
   x(2)+2*x(3)^2-3];

(3)编写主程序文件example2.m如下：

[x,y]=fmincon('fun1',rand(3,1),[],[],[],[],zeros(3,1),[],'fun2')

3.二次规划

若某非线性规划的目标函数为自变量x的二次函数，约束条件又全是线性的，就称这种规划为二次规划

matlab中二次规划的数学模型可表述如下:

$min\, \frac{1}{2}x^{T}Hx+f^{T}x$

$s.t.\left\{\begin{matrix} Ax\leqslant b\\ Aeqx=beq\\ lb\leqslant x\leqslant ub \end{matrix}\right.$

这里H是实对称矩阵，f,b,beq,lb,ub,是列向量，A,Aeq是相应维数的矩阵

matlab中求解二次规划的的命令是：

[x,fval]=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)

返回值x是决策向量x的取值;

返回值fval是目标函数在x处的值;

具体细节可以参考在matlab命令窗口中运行help quadprog的帮助

例3：求解二次规划

$min\, f\left ( x \right )=2x{_{1}}^{2}-4x_{1}x_{2}+4x{_{2}}^{2}-6x_{1}-3x_{2}$

$s.t.\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}\leqslant 3\\ 4x_{1}+x_{2}\leqslant 9\\ x_{1},x_{2}\geqslant 0 \end{matrix}\right.$

解：编写如下程序


h=[4,-4;-4,8];%%二次型矩阵，平方项系数x2填对角，交叉项系数/2
f=[-6;-3];
a=[1,1;4,1];
b=[3,9];
[x,value]=quadprog(h,f,a,b,[],[],zeros(2,1))

例4：

某公司有6个建筑工地要开工，每个工地的位置（用平面坐标系a，b表示，距离单位：千米）及水泥日用量d(吨)由下表给出。目前有两个临时料场位于A(5,1)，B(2,7)，日储量各有20吨。假设从料场到工地之间均有直线道路相连。（1）试制定每天的供应计划，即从A，B两料场分别向各工地运送多少吨水泥，使总的吨千米数最小。（2）为了进一步减少吨千米数，打算舍弃两个临时料场，改建两个新的，日储量各为20吨，问应建在何处，节省的吨千米数有多大？

程序：


a = [1.25 8.75 0.5 5.75 4 7.25];
b = [1.25 0.75 4.75 5 6.5 7.25];
d =[3 5 4 7 6 11];
x =[5 2];
y =[1 7];
e =[20 20];
 
for i=1:6
    for j=1:2
        aa(i,j)=sqrt((x(j)-a(i))^2+(y(j)-b(i))^2);
    end
end
CC=[aa(:,1);aa(:,2)];
 
A=[1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1];
B=[20;20];
Aeq=[1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 %从第一＼二料场运到工地一的料
    0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 
    0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 
    0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 
    0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 
    0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 ];
beq=[d(1);d(2);d(3);d(4);d(5);d(6)];
VLB=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0];
VUB=[];
x0=[1 2 3 0 1 0 0 1 0 1 0 1];%给一个初值，可以不给
[xx,fval]=linprog(CC,A,B,Aeq,beq,VLB,VUB,x0)

改建两个新料场时，原本的A,B坐标变成未知数，令 $x_{1}=X_{13}$ ， $y_{1}=X_{14}$ , $x_{2}=X_{15}$ , $y_{2}=X_{16}$

定义目标函数：


function f=liaoch(x)
a=[1.25 8.75 0.5 5.75 3 7.25];
b=[1.25 0.75 4.75 5 6.5 7.25];
d=[3 5 4 7 6 11];
e=[20 20];
f1=0;
for  i=1:6
    s(i)=sqrt((x(13)-a(i))^2+(x(14)-b(i))^2);
    f1=s(i)*x(i)+f1;
end
f2=0;
for  i=7:12
    s(i)=sqrt((x(15)-a(i-6))^2+(x(16)-b(i-6))^2);
    f2=s(i)*x(i)+f2;
end
f=f1+f2;

取初值为线性规划的计算结果及临时料场的坐标: x0=[3 5 0 7 0 1 0 0 4 0 6 10 5 1 2 7]';

编写主程序：


clear
x0=[3  5 0  7  0  1  0  0  4  0  6 10 5 1 2 7];
%x0=[ 3.0000 5.0000 0.0707 7.0000  0 0.9293 0 0 3.9293  0 6.0000 10.0707 6.3875 4.3943 5.7511 7.1867];
%x0=[ 3.0000 5.0000 0.3094 7.0000 0.0108 0.6798 0 0 3.6906 0 5.9892 10.3202 5.5369 4.9194 5.8291 7.2852];
%x0=[3 5 4 7 1 0 0 0 0 0 5 11 5.6348 4.8687 7.2479 7.7499];
A=[1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
   0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0];
B=[20;20];
Aeq=[1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
    0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 
    0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
    0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
    0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
    0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0];
beq=[3 5 4 7 6 11];
vlb=[zeros(12,1);-inf;-inf;-inf;-inf];
vub=[];
[x,fval,exitflag]=fmincon('liaoch',x0,A,B,Aeq,beq,vlb,vub)

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