利用辗转相除法求最大公约数和最小公倍数_利用辗转相除法计算两个正整数 a 和 b 的最大公约数,过程如下: 　　① 令 c=a%b

最大公约数

原理

辗转相除法：也称为欧几里得算法（Euclidean algorithm），是一种用来求两个正整数最大公约数（Greatest Common Divisor，GCD）的算法。其原理是基于下面的定理：

如果有两个正整数a和b，其中a>b，那么它们的最大公约数与a除以b的余数c和b的最大公约数相同。即：

                                               

其中gcd（a,b）表示a和b的最大公约数，c = a  mod  b。

算法的步骤

Step1:将两个正整数a和b（假设a > b）作为输入

Step2:计算a除以b的余数c，即 c = a  mod  b

Step3"如果c = 0，则b就是两数的最大公约数

Step4:如果c != 0,则将b的值赋给a，将c的值赋给b，并返回步骤2(Step2)。

重复上述过程直到余数为0。最后非零余数的除数即为两个数的最大公约数。

辗转相除法的效率很高，特别是对大整数进行计算时。这个算法可以扩展到更多整数的最大公约数求解，也可以用于求解二元一次方程的整数解等问题。

代码（c语言）

​
int gcd(int x, int y)
{
	int tmp;
	while(y!=0)
	{
		tmp = x % y;
		x = y;
		y = tmp;
	}
	return x;
 
​

最大公倍数

要通过最大公约数（GCD）求得两个数的最小公倍数（LCM），可以使用以下关系式：

                                                

其中，α和b是需要求最小公倍数的两个正整数，GCD(a,b)是它们的最大公约数。

原理

这个公式的原理基于最大公约数和最小公倍数的定义：最大公约数是两个数共有约数中最大的一个，而最小公倍数是能同时被这两个数整除的最小的正整数。

算法的步骤：

当我们将两个数α和b相乘，其结果就包含了这两个数所有的质因数。然而，如果α和b有共同的质因数，那么这些质因数在乘积α×b中就会出现多次。最大公约数包含了α和b的所有共同质因数，每个共同质因数出现一次。因此，要得到它们的最小公倍数，我们需要除去这些重复的质因数，也就是除以它们的最大公约数。

通过这种方式，我们就可以确保得到的最小公倍数是能够被α和b整除的，并且是最小的那个数。

举个例子，假设我们要找到8和12的最小公倍数：

首先找到 8 和 12 的最大公约数, GCD(8,12) = 4

然后计算8和12 的乘积，8× 12=96

最后，将乘积除以最大公约数，= 24

所以，8和12的最小公倍数是24

代码（c语言）

int gcd(int x, int y)
{
	int tmp;
	while(y!=0)
	{
		tmp = x % y;
		x = y;
		y = tmp;
	}
	return x;
}
 
int lcm(int x, int y)
{
	int tmp;
	tmp = x * y;
	return tmp = tmp / gcd(x, y);
}

总代码

#include<stdio.h>
int main()
{
	int gcd(int x, int y);
	int lcm(int x, int y);
	int x, y;
 
	scanf_s("%d %d", &x, &y);
	printf("最大公约数为%d\n", gcd(x, y));
	printf("最大公倍数为%d\n", lcm(x, y));
 
	return 0;
}
 
int gcd(int x, int y)
{
	int tmp;
	while(y!=0)
	{
		tmp = x % y;
		x = y;
		y = tmp;
	}
	return x;
}
 
int lcm(int x, int y)
{
	int tmp;
	tmp = x * y;
	return tmp = tmp / gcd(x, y);
}

个人想法，欢迎大家与我讨论（我才大一初学c语言）