求最大公因数：辗转相除法（欧几里德算法）_辗转相除法求最大公因式

辗转相除法即欧几里德算法。对于任意两个自然数a和b，如果q和r是a除以b的商和余数，那么a和b的最大公因数等于b和r的最大公因数。

求解过程可描述如下：

（1）a除以b，得到商q和余数r1；

（2）若r1=0，则a和b最大公因数为b；

（3）若r1≠0，则继续（1），即b除以r1得到商q和余数r2；

（4）若r2=0，则a和b最大公因数为r1；

（5）若r2≠0，则继续（1），即b除以r2得到商q和余数r3；

（6）重复上述步骤，直到能够整除，余数为0时的除数就是a和b的最大公因数。

原理如下：

设两数为a、b(a>b)，用gcd(a,b)表示a，b的最大公因数，r=a (mod b) 为a除以b的余数，k为a除以b的商，即a÷b=k.......r。

辗转相除法即是要证明gcd(a,b)=gcd(b,r)。

第一步：令c=gcd(a,b)，则设a=mc，b=nc

第二步：根据前提可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c

第三步：根据第二步结果可知c也是r的因数

第四步：可以断定m-kn与n互质(假设m-kn=xd，n=yd (d>1)，则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)cd，b=nc=ycd，则a与b的一个公约数cd>c，故c非a与b的最大公因数，与前面结论矛盾)，因此c也是b与r的最大公因数。从而可知gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r)。

证毕。

算法实现如下：

int a, b, tmp;
cin >> a >> b;
while(tmp = a % b) {
    a = b;
    b = tmp;
}
cout << b << endl;

对于互质的判断，我们可以利用上述方法， 判断两数的最大公因数是否为1。