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[解疑]图像、矩阵的二维空间变换_图像二维变换矩阵

图像二维变换矩阵

本文经过参考多个文章整理而成,感谢各位博主的无私分享。

综述

图像(2维平面)到图像(2维平面)的四种变换包括:等距变换,相似变换,仿射变换,投影变换。对图像的几何变换本质上是一种线性变换,其数学本质为 I n e w = T I o l d I_{new}=T{I_{old}} Inew=TIold,即通过变换矩阵 T T T将原图上的点的位置 I o l d I_{old} Iold 变换到新的位置,从而得到新的图像 I n e w I_{new} Inew

执行一般的二维空间变换包括如下三步:

  • 定义空间变换的参数;
  • 创建变换结构体TFORM,它定义了你所要执行变换的类型;
    TFORM结构体包含了执行变换需要的所有参数。你可以定义很多类型的空间变换,包括仿射变换affine transformations(如平移translation,缩放scaling,旋转rotation,剪切shearing)、投影变换projective transformations和自定义的变换custom transformations。
    创建结构体的方法有两种:使用maketform或者使用cp2tform。
  • 执行变换。
    通过将要变换的图像和TFORM结构体传递给imtransform函数即可实现变换。

在这里插入图片描述
2D平面变换示意图

  • Translation 平移
  • Euclidean(rigid, rotation) 旋转
  • Scale 缩放;图中没有画出
  • Similarity 相似变换;结合旋转,平移和缩放
  • Affine 仿射变换;想象在similarity的基础上用两只手对图像进行按压拉伸
  • Projective 投影变换;想象投影仪做的事情,将一个面投影到另外一个面的情况

eometry Transformation 几何变换
Homogeneous coordinate 齐次坐标:使用N+1维坐标来表示N维坐标,例如在2D笛卡尔坐标系中加上额外变量w来形成2D齐次坐标系。齐次坐标具有规模不变性,同一点可以被无数个齐次坐标表达. 齐次坐标转化为笛卡尔坐标可以通过同除最后一项得到。

仿射变换

原理

仿射变换其实是另外两种简单变换的叠加:一个是线性变换,一个是平移变换。统一平移变换和线性变换的一种变换我们起了个名字叫“仿射变换”。这个新的变换就不再单纯的是两个线性空间的映射了,而是变成了两个仿射空间的映射关系。为了更好地理解仿射变换,首先就要知道线性变换以及它的不足。在未说明的情况下,下面使用的是卡迪尔坐标系。
所谓线性变换是指两个线性空间的映射,一个变换 L : A → B {\mathcal{L}:\mathcal{A}\to\mathcal{B}} L:AB是线性变换,必须满足两个条件,也就是我们经常说的线性条件:

  • L ( u + v ) = L ( u ) + L ( v ) L(u+v)=L(u)+L(v) L(u+v)=L(u)+L(v) additivity
  • L ( α u ) = α L ( u ) {L({\alpha}u)={\alpha}L(u)} L(αu)=αL(u) homogeneity

举个例子说明一下。假设 L L L是一个二维绕原点旋转变换, u u u v v v是旋转角度。我们知道“一次性旋转 u + v u+v u+v度”和“先旋转 u u u度再旋转 v v v读”达到的效果是一样的;同样地,“一次性旋转 α u {\alpha}u αu度”和“旋转 α \alpha α u u u度”也是一样的。
线性变换可以用矩阵来表示。假设 p = ( x , y ) T p=(x,y)^{T} p=(x,y)T是二维空间中的点, T T T是一线性变换,那么存在一个矩阵 A A A,使得 p ′ = ( x ′ , y ′ ) T = T ( p ) = A p p'=(x',y')^{T}=T(p)=Ap p=(x,y)T=T(p)=Ap。上面的旋转变换 R R R,以及缩放 S S S变换都有相应的变换矩阵

[ x ′ y ′ ] = R ( p ) = [ c o s ( θ ) − s i n ( θ ) s i n ( θ ) c o s ( θ ) ] [ x y ] \left[ {

xy
} \right]=R(p)= \left[ {
cos(θ)sin(θ)sin(θ)cos(θ)
} \right] \left[ {
xy
} \right] [xy]=R(p)=[cos(θ)sin(θ)sin(θ)cos(θ)][xy]

[ x ′ y ′ ] = S ( p ) = [ S x 0 0 S y ] [ x y ] \left[ {

xy
} \right]=S(p)= \left[ {
Sx00Sy
} \right] \left[ {
xy
} \right] [xy]=S(p)=[Sx00Sy][xy]

但是在笛卡尔坐标系中,平移变换却不能用矩阵来表示。一个平移变换 T T T具有如下的形式

[ x ′ y ′ ] = T ( p ) = I [ x y ] + [ t x t y ] \left[ {

xy
} \right]=T(p)= I \left[ {
xy
} \right]+\left[ {
txty
} \right] [xy]=T(p)=I[xy]+[txty]

我们可以很容易地验证,平移变换 T T T是不能写成两个矩阵乘积形式的。使用齐次坐标系很好的解决了这个问题(可能还有其它的原因)。齐次坐标系统其实是用高维坐标来表示一个低维的点,就好比我们用 ( x , 1 ) (x,1) x,1)来表示一个长度值一样,其实用一个 x x x就可以了,但是用高一维的表示,在有的时候会带来便利。一个N维的卡迪尔坐标系中的一个点 p = ( x 1 , x 2 , . . . , x N ) p=(x_1,x_2,...,x_N) p=(x1,x2,...,xN),在齐次坐标系中有无数的 N + 1 N+1 N+1维点与之对应,这些点可以描述为 p H = ( ω x 1 , ω x 2 , . . . , ω x N , ω ) p_H=(\omega x_1,\omega x_2,...,\omega x_N,\omega) pH=(ωx1,ωx2,...,ωxN,ω) ω \omega ω取不同的值,我们变得到齐次坐标系中不同的点。当把这些点映射到 ω = 1 \omega=1 ω=1平面(不改变 x i x_i xi之间比例),我们又降维得到对应的卡迪尔坐标系中的点。在OpenGL中我们是用 ( x , y , z , 1 ) ( ω = 1 ) (x,y,z,1)(\omega=1) (x,y,z,1)(ω=1)来表示一点三维的点,显然这个点与卡迪尔坐标系中的点 ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z)是一一对应的。在计算的过程中,会出现第四个分量不为 ω ≠ 1 \omega \neq 1 ω=1的情况,这时我们也总是同除以 ω \omega ω使齐次坐标正规化。
在这里插入图片描述
现在回来让我们看看使用齐次坐标时,对应的线性变换是什么形式。假设 p = ( x , y , 1 ) T p=(x,y,1)^{T} p=(x,y,1)T是二维点对应的齐次坐标,与上面使用卡迪尔坐标系类似,我们可以得到相应的线性变换如旋转变换 R R R和缩放变换 S S S的矩阵表示:

[ x ′ y ′ 1 ] = R ( p ) = [ c o s ( θ ) − s i n ( θ ) 0 s i n ( θ ) c o s ( θ ) 0 0 0 1 ] [ x y 1 ] \left[ {

xy1
} \right]=R(p)= \left[ {
cos(θ)sin(θ)0sin(θ)cos(θ)0001
} \right] \left[ {
xy1
} \right] xy1=R(p)=cos(θ)sin(θ)0sin(θ)cos(θ)0001xy1

[ x ′ y ′ 1 ] = S ( p ) = [ S x 0 0 0 S y 0 0 0 1 ] [ x y 1 ] \left[ {

xy1
} \right]=S(p)= \left[ {
Sx000Sy0001
} \right] \left[ {
xy1
} \right] xy1=S(p)=Sx000Sy0001xy1

容易验证, ( x ′ , y ′ ) (x', y') (x,y)的值并没有变化。但是使用齐次坐标后,平移操作便也可以使用矩阵来表示了(如下),平移量出现在变换矩阵的最右侧。

[ x ′ y ′ 1 ] = T ( p ) = [ 1 0 t x 0 1 t y 0 0 1 ] [ x y 1 ] \left[ {

xy1
} \right]=T(p)= \left[ {
10tx01ty001
} \right] \left[ {
xy1
} \right] xy1=T(p)=100010txty1xy1

最后,我们给出仿射变换稍微正式点的定义。一个仿射变换 T T T,可以表示成一个线性变换 A A A后平移 t t t T ( p ) = A p + t T(p)=Ap+t T(p)=Ap+t,其中 p p p是待变换的点齐次坐标表示。 T T T可以表示成如下的形式:

T = [ a 11 a 12 a 13 t 1 a 21 a 22 a 23 t 2 a 31 a 32 a 33 t 3 0 0 0 1 ] \bf{T}=\left[ {

a11a12a13t1a21a22a23t2a31a32a33t30001
} \right] T=a11a21a310a12a22a320a13a23a330t1t2t31

其中, A = [ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ] \bf{A}=\left[ {

a11a12a13a21a22a23a31a32a33
} \right] A=a11a21a31a12a22a32a13a23a33表示线性变换; t = [ t 1 t 2 t 3 ] \bf{t}=\left[ {
t1t2t3
} \right]
t=t1t2t3
表示平移变换;右下角的数字可以进行整体缩放,当为1时,表示不进行整体缩放。

可以知道:仿射变换保持了二维图形的“平直性”和“平行性”。仿射变换可以通过一系列的变换的复合来实现,包括平移,缩放,翻转,旋转和剪切。

warpAffine

opencv中相应的函数是:
void warpAffine(InputArray src, OutputArray dst, InputArray M, Size dsize, int flags=INTER_LINEAR, int borderMode=BORDER_CONSTANT, const Scalar& borderValue=Scalar())
Parameters:

  • src – input image.
  • dst – output image that has the size dsize and the same type as src .
  • M – transformation matrix,本文中着重讲M的构造
  • dsize – size of the output image.ansformation ().
  • borderMode – pixel extrapolation method (see borderInterpolate()); when borderMode=BORDER_TRANSPARENT , it means that the pixels in the destination image corresponding to the “outliers” in the source image are not modified by the function.
  • borderValue – value used in case of a constant border; by default, it is 0.
典型的变换矩阵
  • 平移,将每一点移到到 ( x + t , y + t ) (x+t , y+t) (x+t,y+t),变换矩阵为
    在这里插入图片描述
  • 缩放变换 将每一点的横坐标放大或缩小 s x s_x sx倍,纵坐标放大(缩小)到 s y s_y sy倍,变换矩阵为
    [ S x 0 0 0 S y 0 0 0 1 ] \left[ {
    Sx000Sy0001
    } \right]
    Sx000Sy0001
  • 旋转变换原点:目标图形围绕原点顺时针旋转 θ \theta θ弧度,变换矩阵为
    在这里插入图片描述
  • 旋转变换 :目标图形以 ( x , y ) (x , y) (x,y)为轴心顺时针旋转 θ \theta θ弧度,变换矩阵为
    在这里插入图片描述
    相当于两次平移与一次原点旋转变换的复合,即先将轴心 ( x , y ) (x,y) (x,y)移到到原点,然后做旋转变换,最后将图片的左上角置为图片的原点,即
    在这里插入图片描述
    在opencv的图像处理中,所有对图像的处理都是从原点进行的,而图像的原点默认为图像的左上角,而我们对图像作旋转处理时一般以图像的中点为轴心。
getRotationMatrix2D

可以使用opencv中自带的Mat getRotationMatrix2D(Point2f center, double angle, double scale)函数获得变换矩阵M,

  • center:旋转中心
  • angle:旋转弧度,一定要将角度转换成弧度
  • scale:缩放尺度

它得到的矩阵是:
(顺时针)
在这里插入图片描述
(逆时针)
在这里插入图片描述

其中 α = s c a l e ∗ c o s ( a n g l e ) , β = s c a l e ∗ s i n ( a n g l e ) , ( c e n t e r . x , c e n t e r . y ) α = scale * cos(angle) , β = scale * sin(angle) , (center.x , center.y) α=scalecos(angle),β=scalesin(angle),(center.x,center.y) 表示旋转轴心。

getAffineTransform

opencv中还有一个函数:Mat getAffineTransform(InputArray src, InputArray dst)
它通过三组点对就可以获得它们之间的仿射变换,如果我们在一组图像变换中知道变换后的三组点,那么我们就可以利用该函数求得变换矩阵,然后对整张图片进行仿射变换。

仿射变换之所以重要,另一个重要的原因是仿射变换后不改变点的共线/共面性,而且还保持比例,这对图形系统尤其重要。例如,根据这个性质,如果我们要变换一个三角形,只需要对三个定点 v 1 v1 v1, v 2 v2 v2, v 3 v3 v3进行变换T就可以了,对于原先边 v 1 v 2 v1v2 v1v2上的点,变换后一定还在边后 T ( v 1 ) T ( v 2 ) T(v1)T(v2) T(v1)T(v2)上。

总结一下,仿射变换是线性变换后进行平移变换(其实也是齐次空间的线性变换),使用齐次坐标使得仿射变换可以以统一的矩阵形式进行表示。

透视变换

还有一种与仿射变换经常混淆的变换为透视变换,透视变换需要四组点对才能确定变换矩阵,由于仿射变换保持“平直性”与“平行性”,因此只需要三组点对,而透视变换没有这种约束,故需要四组点对。

原理

透视变换(Perspective Transformation)是将图片投影到一个新的视平面(Viewing Plane),也称作投影映射(Projective Mapping)。通用的变换公式为:
在这里插入图片描述
u u u, v v v是原始图片左边,对应得到变换后的图片坐标 x x x, y y y,其中在这里插入图片描述

变换矩阵在这里插入图片描述可以拆成4部分,在这里插入图片描述表示线性变换,比如scaling,shearing和ratotion。在这里插入图片描述用于平移,在这里插入图片描述产生透视变换。所以可以理解成仿射等是透视变换的特殊形式。经过透视变换之后的图片通常不是平行四边形(除非映射视平面和原来平面平行的情况)。

重写之前的变换公式可以得到:
在这里插入图片描述
所以,已知变换对应的几个点就可以求取变换公式。反之,特定的变换公式也能新的变换后的图片。简单的看一个正方形到四边形的变换:
变换的4组对应点可以表示成:在这里插入图片描述
根据变换公式得到:在这里插入图片描述
定义几个辅助变量:在这里插入图片描述
在这里插入图片描述都为0时变换平面与原来是平行的,可以得到:在这里插入图片描述
在这里插入图片描述不为0时,得到:在这里插入图片描述
求解出的变换矩阵就可以将一个正方形变换到四边形。反之,四边形变换到正方形也是一样的。于是,我们通过两次变换:四边形变换到正方形+正方形变换到四边形就可以将任意一个四边形变换到另一个四边形。
在这里插入图片描述

warpPerspective

主要作用:对图像进行透视变换,就是变形。
C++: void warpPerspective(InputArray src, OutputArray dst, InputArray M, Size dsize, int flags=INTER_LINEAR, int borderMode=BORDER_CONSTANT, const Scalar& borderValue=Scalar())
参数详解:

  • InputArray src:输入的图像
  • OutputArray dst:输出的图像
  • InputArray M:透视变换的矩阵
  • Size dsize:输出图像的大小
  • int flags=INTER_LINEAR:输出图像的插值方法,
    combination of interpolation methods (INTER_LINEAR or INTER_NEAREST) and the optional flagWARP_INVERSE_MAP, that sets M as the inverse transformation ( \texttt{dst}\rightarrow\texttt{src} )
  • int borderMode=BORDER_CONSTANT:图像边界的处理方式
  • const Scalar& borderValue=Scalar():边界的颜色设置,一般默认是0

参考

图像的变换
https://blog.csdn.net/liangjiubujiu/article/details/80424287

仿射变换与齐次坐标
https://blog.csdn.net/liangjiubujiu/article/details/80628506

仿射变换矩阵
https://blog.csdn.net/liangjiubujiu/article/details/80918428

matlab 二维空间变换
https://blog.csdn.net/liangjiubujiu/article/details/80607161

图像投影/单应性变换/直射
https://blog.csdn.net/liangjiubujiu/article/details/80412175

图像的等距变换,相似变换,仿射变换,射影变换及其matlab实现
https://blog.csdn.net/liangjiubujiu/article/details/80616870

仿射变换详解 warpAffine
https://blog.csdn.net/q123456789098/article/details/53330484



写于关雎


在这里插入图片描述


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