熵值法与TOPSIS法以及两者结合_熵权法和熵权topsis区别

补充：TOPSIS法(优劣解距离法)介绍及 python3 实现

一、熵值法

熵值法的主要目的是对指标体系进行赋权

熵越大说明系统越混乱，携带的信息越少，权重越小；熵越小说明系统越有序，携带的信息越多，权重越大。

熵值法是一种客观赋权方法，借鉴了信息熵思想，它通过计算指标的信息熵，根据指标的相对变化程度对系统整体的影响来决定指标的权重，即根据各个指标标志值的差异程度来进行赋权，从而得出各个指标相应的权重，相对变化程度大的指标具有较大的权重。

步骤

（1）原始数据的收集与整理

假设有m个待评价样本，n项评价指标，形成原始指标数据矩阵：
X = ( x 11 . . . x 1 n ⋮ ⋱ ⋮ x m 1 ⋯ x m n ) X=\left(

$$\begin{matrix} x_{11}& ...& x_{1n}\\ \vdots& \ddots& \vdots\\ x_{m1}& \cdots& x_{mn}\\ \end{matrix}$$ \right) X=⎝⎜⎛​x11​⋮xm1​​...⋱⋯​x1n​⋮xmn​​⎠⎟⎞​
其中$X_{ij}$ 表示第 i 个样本第 j 项评价指标的数值。

对于某项指标$X_j$，样本的离散程度越大，则该指标在综合评价中所起的作用就越大。如果该指标的标志值全部相等，则表示该指标在综合评价中不起作用。

例如：

或者

（2）数据处理

为消除因量纲不同对评价结果的影响，需要对各指标进行归一化或者标准化处理。

归一化处理：

若所用指标的值越大越好（正向指标:）
$$x_{ij}^{\prime }=\frac{x_j-x_{\min }}{x_{\max }-x_{\min }}$$
若所用指标的值越小越好（负向指标:）
$$x_{ij}^{\prime }=\frac{x_{\max }-x_j}{x_{\max }-x_{\min }}$$

其中$x_j$为第 j 项指标值，$x_{max}$为第 j 项指标的最大值，$x_{min}$为第 j 项指标的最小值。

或者标准化处理：
$$x_{ij}^{\prime }=\frac{x_{ij}-{\bar{x}}_j}{S_j}$$

（3）计算比重

计算第 j 个指标中，第 i 个样本标志值的比重：
$$p_{ij}=\frac{x_{ij}}{{\sum }_i^m{x}_{ij}}\text{，}0\le p_{ij}\le 1$$
此，可以建立数据的比重矩阵
P = ( p 11 . . . p 1 n ⋮ ⋱ ⋮ p m 1 ⋯ p m n ) P=\left(

$$\begin{matrix} p_{11}& ...& p_{1n}\\ \vdots& \ddots& \vdots\\ p_{m1}& \cdots& p_{mn}\\ \end{matrix}$$ \right) P=⎝⎜⎛​p11​⋮pm1​​...⋱⋯​p1n​⋮pmn​​⎠⎟⎞​

（4） 计算第 j 个指标的熵值

$$e_j=-k\sum _i^m{p}_{ij}\ln p_{ij}$$

其中，常数
$$k>0\text{，}k=\frac{1}{\ln m}$$
保证$0\le e_j\le 1$，即$e_j$最大为1

所以，第 j 个指标的熵值为
$$e_j=-\frac{1}{\ln m}\sum _i^m{p}_{ij}\ln p_{ij}$$

（5）定义第 j 个指标的差异程度

熵值法根据各个指标标志值的差异程度来进行赋权，从而得出各个指标相应的权重

$$d_j=1-e_j$$

（6）定义权重

$$w_j=\frac{d_j}{{\sum }_{j=1}^n{d}_j}$$

（7）进行综合评价

$$F_i=\sum _{j=1}^n{w}_j{p}_{ij}$$
其中$F_i$第 i 个待评价样本的综合评价值

二、TOPSIS法

TOPSIS是通过逼近理想解的程度来评估各个样本的优劣等级

TOPSIS法的基本原理

在归一化后的原始数据矩阵中，找到有限方案中的最优方案和最劣方案，然后分别计算评价对象与最优方案和最劣方案之间的距离，并以此作为依据来评价样本的优劣等级。

基本步骤

假设有n个待评价样本，p项评价指标，形成原始指标数据矩阵：
X = ( x 11 . . . x 1 p ⋮ ⋱ ⋮ x n 1 ⋯ x n p ) X=\left(

$$\begin{matrix} x_{11}& ...& x_{1p}\\ \vdots& \ddots& \vdots\\ x_{n1}& \cdots& x_{np}\\ \end{matrix}$$ \right) X=⎝⎜⎛​x11​⋮xn1​​...⋱⋯​x1p​⋮xnp​​⎠⎟⎞​

（1）数据预处理

• .使指标具有同趋势性。评价指标中有正向指标和负向指标之分，一般把负向指标转化为正向指标，转化的方法可采用倒数法（即1/X），多适用于绝对数指标；差值法（即1-X），多适用于相对数指标。转化后的数据矩阵仍记为X。

• .数据无量纲化.。将原始数据归一化，以消除量纲向量数据归一化的方式：
  $$z_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sqrt{{\sum }_i^{}{x}_{ij}^2}}$$

最终得到分析数据矩阵
Z = ( z 11 z 12 ⋯ z 1 p z 21 z 22 ⋯ z 2 p ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ z n 1 z n 2 ⋯ z n p ) Z=\left(

$$\begin{matrix} z_{11}& z_{12}& \cdots& z_{1p}\\ z_{21}& z_{22}& \cdots& z_{2p}\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ z_{n1}& z_{n2}& \cdots& z_{np}\\ \end{matrix}$$ \right) Z=⎝⎜⎜⎜⎛​z11​z21​⋮zn1​​z12​z22​⋮zn2​​⋯⋯⋱⋯​z1p​z2p​⋮znp​​⎠⎟⎟⎟⎞​

（2）寻找最优值和最劣值

找出各项指标的最优值和最劣值，建立最优值向量$z^{+}$和最劣值向量$z^{-}$
$$z^{+}=\underset{nj}{\max }\left(z_1^{+},z_2^{+},\cdots ,z_p^{+}\right)$$
$$z^{-}=\underset{nj}{\min }\left(z_1^{-},z_2^{-},\cdots ,z_p^{-}\right)$$

（3）计算各个评价对象与最优值和最劣值之间的距离

$$D_i^{+}=\sqrt{\sum _j{\left(z_{ij}-z_j^{+}\right)}^2}$$
$$D_i^{-}=\sqrt{\sum _j{\left(z_{ij}-z_j^{-}\right)}^2}$$

（4）计算各个评价指标与最优值的相对接近度

$$C_i=\frac{D_i^{-}}{D_i^{+}+D_i^{-}}$$

（5）排序

根据$C_i$的大小进行排序，$C_i$越大，表明评价对象越接近最优值。

三、熵值法 + TOPSIS法

.
可以结合熵值法 和 TOPSIS法各自的特点，进行评价。

假设有n个待评价样本，p项评价指标，形成原始指标数据矩阵：
X = ( x 11 . . . x 1 p ⋮ ⋱ ⋮ x n 1 ⋯ x n p ) X=\left(

$$\begin{matrix} x_{11}& ...& x_{1p}\\ \vdots& \ddots& \vdots\\ x_{n1}& \cdots& x_{np}\\ \end{matrix}$$ \right) X=⎝⎜⎛​x11​⋮xn1​​...⋱⋯​x1p​⋮xnp​​⎠⎟⎞​

其中$X_{ij}$ 表示第 i 个样本第 j 项评价指标的数值。

（1）求比值

$$p_{ij}=\frac{x_{ij}}{{\sum }_{i=1}^n{x}_{ij}}$$

（2）求熵值

$$e_j=-\frac{1}{\ln n}\sum _{i=1}^n{p}_{ij}\ln p_{ij}\text{，}{e}_j\in \left[0,1\right]$$

（3）信息冗余值

$$d_j=1-e_j$$

（4）定权

$$w_j=\frac{d_j}{{\sum }_{j=1}^p{d}_j}$$

（5）归一化 （向量标准化）

$$z_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sqrt{{\sum }_{i=1}^n{x}_{ij}^2}}$$

（6）构造加权矩阵

$$z_{ij}^{\ast }=z_{ij}\cdot w_j$$

得到加权矩阵
Z ∗ = [ z 11 ⋅ w 1 z 12 ⋅ w 2 ⋯ z 1 p ⋅ w p z 21 ⋅ w 1 z 22 ⋅ w 2 ⋯ z 2 p ⋅ w p ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ z n 1 ⋅ w 1 z n 2 ⋅ w 2 ⋯ z n p ⋅ w p ] Z^*=\left[

$$\begin{matrix} z_{11}\cdot w_1& z_{12}\cdot w_2& \cdots& z_{1p}\cdot w_p\\ z_{21}\cdot w_1& z_{22}\cdot w_2& \cdots& z_{2p}\cdot w_p\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ z_{n1}\cdot w_1& z_{n2}\cdot w_2& \cdots& z_{np}\cdot w_p\\ \end{matrix}$$ \right] Z∗=⎣⎢⎢⎢⎡​z11​⋅w1​z21​⋅w1​⋮zn1​⋅w1​​z12​⋅w2​z22​⋅w2​⋮zn2​⋅w2​​⋯⋯⋱⋯​z1p​⋅wp​z2p​⋅wp​⋮znp​⋅wp​​⎦⎥⎥⎥⎤​

（7）寻找最优、最劣方案

{ z i j ∗ + = max ⁡ n , p ( z 1 ∗ + , z 2 ∗ + , ⋯   , z p ∗ + ) z i j ∗ − = min ⁡ n , p ( z 1 ∗ − , z 2 ∗ − , ⋯   , z p ∗ − ) \left\{

$$\begin{array}{l} z_{ij}^{*+}=\underset{n,p}{\max}\left( z_1^{*+},z_2^{*+},\cdots ,z_p^{*+} \right)\\ \\ z_{ij}^{*-}=\underset{n,p}{\min}\left( z_1^{*-},z_2^{*-},\cdots ,z_p^{*-} \right)\\ \end{array}$$ \right. ⎩⎪⎨⎪⎧​zij∗+​=n,pmax​(z1∗+​,z2∗+​,⋯,zp∗+​)zij∗−​=n,pmin​(z1∗−​,z2∗−​,⋯,zp∗−​)​

（8）最优、最劣距离

$$D_i^{+}=\sqrt{\sum _j{\left(z_{ij}^{\ast }-z_j^{\ast +}\right)}^2}$$
$$D_i^{-}=\sqrt{\sum _j{\left(z_{ij}^{\ast }-z_j^{\ast -}\right)}^2}$$

（9）构造相对接近度

$$C_i=\frac{D_i^{-}}{D_i^{+}+D_i^{-}}$$

（10）排序

根据$C_i$的大小进行排序，$C_i$越大，表明评价对象越接近最优值。