雅可比(jacobian)、黑塞矩阵(Hessian)

一、雅克比矩阵

雅可比矩阵和行列式（Jacobian）_雅可比行列式_JasonKQLin的博客-CSDN博客

 在牛顿迭代法、L-M中求解非线性方程组，都会用到雅可比(一阶偏导数) 和黑塞矩阵（2阶偏导数）矩阵。

雅可比矩阵 是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵, 其行列式称为雅可比行列式。

​
  是一个从欧式 n 维空间转换到欧式 m 维空间的函数. 这个函数由 m 个实函数组成:，记作
这些函数的偏导数(如果存在)可以组成一个 m 行 n 列的矩阵, 这就是所谓的雅可比矩阵：

 

 若m=n，那么其就是一个方阵，其行列式也叫雅可比行列式

雅可比矩阵的作用：

雅可比矩阵J f ( p ) 就是函数f在n维空间某点p处的导数，它是一个线性映射（因为它是一个矩阵，矩阵本身代表着线性变换），它代表着函数f在点p处的最优线性逼近，也就是当x足够靠近点p时，我们有：

 eg:

 matlab 求解雅可比矩阵:

syms x1 x2  x3 x4
f1=x1;
f2=5*x3;
f3=4*x2^2-2*x3;
f4=x3*sin(x1);
 
J =jacobian([f1;f2;f3;f4],[x1 x2  x3])
 

 二、黑塞矩阵

定义

黑塞矩阵（Hessian Matrix），又译作海森矩阵、海瑟矩阵、海塞矩阵等，是一个多元函数的二阶偏导数构成的方阵，描述了函数的局部曲率。黑塞矩阵最早于19世纪由德国数学家Ludwig Otto Hesse提出，并以其名字命名。黑塞矩阵常用于牛顿法解决优化问题，利用黑塞矩阵可判定多元函数的极值问题。在工程实际问题的优化设计中，所列的目标函数往往很复杂，为了使问题简化，常常将目标函数在某点邻域展开成泰勒多项式来逼近原函数，此时函数在某点泰勒展开式的矩阵形式中会涉及到黑塞矩阵。

一句话来讲，Hessian matrix是多元函数（单因变量）的二阶偏导数组成的方阵，它也可以被理解为该函数的一阶导数向量的Jacobi matrix!当函数满足(前提是再一定的范围内是2阶连续可导)：

 推导：

谷歌搜索：

二元函数的黑塞矩阵

 

 对称性

 

 应用

示例1：

 示例2：

https://www.cnblogs.com/ybqjymy/p/13646488.html

matlab 代码实现：

clear all;
clc;
syms x y z
f1=x^2+y^2+3*x*y*z;
%f2=x^3+y^2+4*x*y*z^3;
%f3=x^3+y^2+5*x*y^3*z^3;
% 1 直接计算hessian矩阵
H0=hessian(f1,[x;y;z])
% 2 先求雅可比矩阵，然后再计算 hessian 矩阵
J0=jacobian(f1,[x,y,z]) % 雅可比矩阵
H2=jacobian(J0,[x,y,z])
% 3、先计算梯度，然后再计算hessian 矩阵
G=gradient(f1,[x,y,z])
H3=jacobian(G,[x,y,z])
 
% 结果：
 
H0 =
 
[  2, 3*z, 3*y]
[3*z,   2, 3*x]
[3*y, 3*x,   0]
 
 
J0 =
 
[2*x + 3*y*z, 2*y + 3*x*z, 3*x*y]
 
 
H2 =
 
[  2, 3*z, 3*y]
[3*z,   2, 3*x]
[3*y, 3*x,   0]
 
 
G =
 
2*x + 3*y*z
2*y + 3*x*z
      3*x*y
 
 
H3 =
 
[  2, 3*z, 3*y]
[3*z,   2, 3*x]
[3*y, 3*x,   0]
 
>> 

补充：

正定矩阵

（1）广义定义：设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有zTMz> 0，其中zT 表示z的转置，就称M为正定矩阵。

例如：B为n阶矩阵，E为单位矩阵，a为正实数。在a充分大时，aE+B为正定矩阵。（B必须为对称阵）