三维图形学中的数学--向量几何_三维几何向量

我们之前在研究平面上的几何中，研究了点和向量，以及它们之间的关系， 我们知道点与点之间基本上没有什么运算可言， 只有有限的一些：如　点Ｐ，　Ｑ，

那么（Ｐ＋Ｑ）／２ 表示P 和 Q的中点。 但是向量之间是可以进行加法， 减法，以及交换律，结合律的 ，以及向量与标量的乘法， 自己可以在纸上进行笔画一下，很easy的，但这是基础！

因为这里不好表示带箭头的的向量， 以下我们用 u, v, w ... 表示两个向量。

向量的点积 ：u＊ｖ= |u|*|v|*cos<u, v>,   <u, v> 两向量之间的夹角。 我们可以看到， |u|cos<u, v> 就是这个直角三角形的底边。若v为单位向量， 则u*v = |u|cos<u, v> 就相当于u在v方向的投影。

向量的叉积： u x v = |u|*|v|*sin<u, v> . 由上面的图，我们可以看到， |u|*sin<u, v> 是平行四边形u, v 的高， 易知向量的叉积是两向量围成的平行四边形的面积。

那么我们由上面的向量点积和叉积的来推导一下三角形的正弦定理和余弦定理。

正弦定理：

  a/sin A = b/sin B = c/sin C;

(A-B)x(C-B) = |A-B||C-B|*sin B;

2area(ABC) = (A-B)x(C-B) = c*a *sin B;

同理： 2area(ABC) = c*b*sin A, 2area(ABC) = a*b*sin C;  => c*a *sin B = c*b*sinA => a/sin A = b/ sin B;

c*b*sin A = a*b*sinC => c/sin C = a/ sin A = b/sin B;

余弦定理：

c^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cos<a, b>;

c = (CA - CB), => c^2 = (CA - CB)*(CA - CB) =CA*CA + CB*CB - 2CA*CB = b^2 + a^2 - 2a*b*cos<CA, CB> .

 

行列式：

不知道大家有没有学过行列式，　不过没关系，我昨天看到一篇很好的文章（文章很短小的），可以在这里跟大家分享一下：

http://wenku.baidu.com/view/6ba5488bd0d233d4b14e6931.html. 可以看看前面部分。对于理解矩阵的乘法很有帮助。

 

现在我们可以看看 u x v 这个表达式， 在三维空间坐标中表示：

u = u1 * i + u2 * j + u3*k; 

v = v1*i + v2*j + v3*k;

i x j = k, j x k = i, k x i = j; i x i = j x j = k x k = 0;

u x v = (u1 * i + u2 * j + u3*k) x (v1*i + v2*j + v3*k)

        =  (u1*v2*k - u1*v3*j) + (-u2*v1*k + u2*v3*i) + (u3*v1*j - u3*v2 i)

        = (u2*v3 - u3*v2)*i + (u3v1 - u1*v3)*j + (u1*v2 - u2*v1)*k

 而我们知道 u x v 表示的是u, v 向量组成的平行四边形的面积， 那么对于平行六面体呢：

由三个向量u, v , w 组成的。 那么平行六面体的体积 V = 底面积 x 高 = |u x v| * 高。

而 u x v 的方向是高的方向， 而高就等于，w 在高的方向的投影。 所以，

V = | (u x v)*w | ,  而 (u x v)* w = det (u, v, w), 行列式的三行分别是u, v, w的x, y , z 坐标。

如下图：