超平面介绍

作者：菜鸟追梦旅行 | 2024-02-23 10:05:45

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超平面介绍

(1) 超平面是指n维线性空间中维度为n-1的子空间。它可以把线性空间分割成不相交的两部分。比如二维空间中，一条直线是一维的，它把平面分成了两部分；三维空间中，一个平面是二维的，它把空间分成了两部分。(2) 法向量是指垂直于超平面的向量。

以下向量均为列向量

假如有法向量 $\omega$ （垂直于超平面），已知超平面中的一点 $x^,$ ，对于超平面中的任意一点 $x$ ，均有 $\omega$ 垂直于向量 $x-x^,$ 。公式表示就是：

$\omega^T(x-x^,)=0$
展开有 $\omega^T x\omega^T x^,=0$
另 $-\omega^T x^,=-(w^1 x^,_1+w^2 x^,_2+...+w^n x^,_n)$
则有 $\omega^T x+b=0$

所以超平面的公式可以写成：
$\omega^T x+b=0$
其中 $\omega$ 为 N 维向量，b为标量，表示超平面于原点之间的距离
在这里插入图片描述

现在我们有一点 $x_0$ ，需要求它到超平面之间的距离
在这里插入图片描述

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