【leetcode-1143】最长公共子序列_leetcode最长公共子串

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1143. 最长公共子序列

题目描述

给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长公共子序列的长度。

一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。
例如，“ace” 是 “abcde” 的子序列，但 “aec” 不是 “abcde” 的子序列。两个字符串的「公共子序列」是这两个字符串所共同拥有的子序列。

若这两个字符串没有公共子序列，则返回 0。

示例 1:

输入：text1 = "abcde", text2 = "ace" 
输出：3  
解释：最长公共子序列是 "ace"，它的长度为 3。
1
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示例 2:

输入：text1 = "abc", text2 = "abc"
输出：3
解释：最长公共子序列是 "abc"，它的长度为 3。
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3

示例 3:

输入：text1 = "abc", text2 = "def"
输出：0
解释：两个字符串没有公共子序列，返回 0。
 
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提示:

• 1 <= text1.length <= 1000
• 1 <= text2.length <= 1000
• 输入的字符串只含有小写英文字符。

解题思路

详细题解参考 动态规划之最长公共子序列（LCS）

这是一道非常经典的面试题，因为它采用的解法是典型的二维动态规划。

对于子序列问题，穷举出所有可能的结果都不容易，而动态规划算法要做的就是穷举+剪枝，所以说只要涉及子序列的问题，十有八九都是用动态规划来解决。

而对于两个字符串的动态规划问题，套路是通用的，就是需要一个二维数组。

动态规划三步走

定义dp数组

注意这里由于有两个字符串，所以我们需要定义一个二维的dp数组。

dp[i][j] 表示对于 s1[1…i] 和 s2[1…j]，它们的最长公共子序列(LCS)长度是 dp[i][j]

确定 base case

根据dp数组的定义。我们就可以确定 base case，即

dp[i][0], dp[0][j] = 0

因为只要有一个字符串是空串，它们的最长公共子序列的长度显然应该是 0。

推导状态转移方程

依旧是采用数学归纳法来寻找状态转移关系：假设我们已经计算出了dp[i-1][j-1]，dp[i-1][j]以及dp[i][j-1],如何推导出dp[i][j]呢？

dp[i][j]其实只有两种选择，要么就是与前面的子序列连接，形成一个更长的公共子序列，要么不与前面的子序列连接，原来的最长子序列保持不变。而做出这个选择的关键就在于s[i]是否等于s[j]。

             dp[i-1][j-1] + 1,            当s[i]==s[j]时
dp[i][j] = 
             max(dp[i][j-1], dp[i-1][j]), 当s[i]!=s[j]时
1
2
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至此，我们列出状态转移方程，就可以直接写代码了。

题解

func longestCommonSubsequence(text1 string, text2 string) int {
	// 定义 dp 数组
	l1, l2 := len(text1), len(text2)
	// 这里是一个二维数组, 注意二维数组的长度是字符串长度+1
	dp := make([][]int, l1+1)
	for k := range dp {
		dp[k] = make([]int, l2+1)
	}
	// 开始遍历，注意下标从1开始
	for i := 1; i <= l1 ; i++ {
		for j := 1; j <= l2 ; j++ {
			// 如果s[i]等于s[j]，说明此时s[i]和s[j]属于公共子序列，公共子序列+1
			if text1[i-1] == text2[j-1] {
				dp[i][j] = dp[i-1][j-1] +1
			} else {
				// 如果s[i]不等于s[j]，说明s[i]和s[j]至少有一个不属于公共子序列，子序列长度不变
				dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
			}
		}
	}
	return dp[l1][l2]
}

func max(a, b int) int {
	if a > b {
		return a
	}
	return b
}
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复杂度分析

时间复杂度：O(n^2)

需要两层循环遍历两个字符串。

空间复杂度：O(n^2)

需要定义一个二维的dp数组。

反思

最长公共子序列是一道非常经典的面试题目，因为它的解法是典型的二维动态规划，大部分比较困难的字符串问题都和这个问题一个套路，比如说编辑距离。而且，这个算法稍加改造就可以用于解决其他问题，所以说 LCS 算法是值得掌握的。

所谓二维无非就是比一维多了一维，我们只需要在定义dp数组，base case以及推导状态转移方程上多一个维度的思考就行了

需要尤其注意的是二维数组开辟的大小比两个字符串的大小要+1。这是因为需要专门让索引为 0 的行和列表示空串，dp[0][…] 和 dp[…][0] 都应该初始化为 0，相当于 base case。