【转载】机器学习之数学基础(三)～什么是张量(Tensor)?_数学系哪里学到张量

【转载：什么是张量 (tensor)？ - 马同学的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/20695804/answer/447498656】

这一系列文章源自此系列视频，需要科学上网

此系列文章算是该视频的读书笔记，不过加入了个人对线性代数的理解，以及增加了很多动画帮助理解。

根据维基百科的介绍，“张量”一词最初由威廉·罗恩·哈密顿在1846年引入。对，就是那个发明四元数的哈密顿：

威廉·罗恩·哈密顿

1890年格雷戈里奥·里奇-库尔巴斯托罗的《绝对微分几何》、1900年列维-奇维塔的《绝对微分》进一步在数学上发展了“张量”的概念。

伟大的物理学家，爱因斯坦为了描述他的天才想法，恶补了黎曼几何和张量分析，终于在这两大数学工具的帮助下，创立了他最为得意的弯曲时空的物理理论：广义相对论。至此张量在物理上大放光彩。如果想学习广义相对论，张量肯定是需要学习的。

阿尔伯特·爱因斯坦

广义相对论中最核心的思想就是质量会带来时空弯曲，就好像保龄球滚过长绒地毯：

可以想象，时空弯曲中有大量的几何关系，为了描述复杂的几何关系，爱因斯坦引入了“张量”，比如著名的 爱因斯坦场方程 ：

$R_{\mu \nu } -\frac{1}{2}R \cdot g_{\mu \nu }+\Lambda \cdot g_{\mu \nu }=\frac{8\pi G}{C^{4}}T_{\mu \nu }$

上面式子中， $R_{\mu \nu }, g_{\mu \nu },T_{\mu \nu }$ 就是各种的张量。

可以先有一个直观印象，“张量”就是用来描述几何的，这里几何指的是什么？后面很快就会解释。

1 关于张量的四种定义

“张量”在不同的运用场景下有不同的定义。

第一个定义，张量是多维数组，这个定义常见于各种人工智能软件。听起来还好理解。

第二个定义，张量是某种几何对象，不会随着坐标系的改变而改变。

第三个定义，张量是向量和余向量（covector）通过张量积（tensor product）组合而成的。

第四个定义，张量是多重线性映射，即：

$T: \underset{m}{\underbrace{V^{*} \times \cdot \cdot \cdot \times V^{*}}} \times \underset{n}{\underbrace{V \times \cdot \cdot \cdot \times V}} \rightarrow \mathbb{R}$

 

其中，V是矢量空间，V*是对应的对偶空间。

好了，不闹了，后面的文章会尝试逐一解释这四种定义，并且可以看到这四种定义是不断认知升级的结果。

2 多维数组

从第一个定义：张量是多维数组开始。

现在机器学习很火，知名开源框架tensor-flow是这么定义tensor（张量）的：

A tensor is a generalization of vectors and metrics to potentially higher dimensions

也就是说，张量（tensor）是多维数组，目的是把向量、矩阵推向更高的维度。

更具体点，也即是说：

把三维张量画成一个立方体：

我们就可以进一步画出更高维的张量：

从数据结构上来看，张量就是多维数组。

这个定义本身没有错，但是没有真正反映张量的核心。

3 几何对象

我们来看下第二个定义：张量是某种几何对象，不会随着坐标系的改变而改变。

3.1 二维平面

最简单的几何对象就是二维平面，在线性代数中称为$\mathbb{R}^{2}$ （这是一个向量空间），下面用一个有颜色的方框来表示$\mathbb{R}^{2}$:

这个$\mathbb{R}^{2}$可以通过直角坐标系来描述（也就是单位正交基来张成）：

也可以由别的坐标系来描述（别的基来张成），当然$\mathbb{R}^{2}$本身不会因为基不同而发生改变：

上面的图有几点值得注意：

• $\mathbb{R}^{2}$是一个几何对象，它与坐标系（基）无关
• 可以通过不同的坐标系（基）来描述（张成）
• 并且，不同的坐标系（基）之间有明确的转换规则（这个我们后面再说）

那这样一个几何对象，$\mathbb{R}^{2}$ 就可以用张量来描述。

3.2 二维平面中的向量

$\mathbb{R}^{2}$中的向量，也是一个几何对象：

当$\mathbb{R}^{2}$被某个基张成的时候，向量也获得了坐标值：

如果基发生了变换，坐标值也会不断的变化：

从而可以得到如下的结论：

• 向量是一个几何对象，它与基无关
• 不同的基下，有不同的坐标值
• 并且，不同的坐标值之间有明确的转换规则

所以，向量这个几何对象也可以用张量来描述。

3.3 二维平面之间的线性映射

假设有如下线性映射：

$\iota : \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$

其实它也是一个几何对象，可以图示如下：

上图表示左边$\mathbb{R}^{2}$中的一点（一点也对应一个向量），通过 $\iota$ ，和右边$\mathbb{R}^{2}$  中的一点关联了起来，这就是映射。

当用单位正交基来描述左右两个$\mathbb{R}^{2}$，可以得到一个矩阵A 来表示此$\iota$：

不同的基，会获得不同的矩阵（也就是等价矩阵），比如说 $A^{'}$ ：

进而得到如下的结论：

• 线性映射$\iota$  是一个几何对象，它与基无关
• 不同的基下，有不同的矩阵来代表$\iota$
• 并且，不同的矩阵之间有明确的转换规则

所以， $\iota$ 这个几何对象也可以用张量来描述。

4 总结

可见，张量可以表达非常多的线性代数的研究对象。

借用线性代数中“张成”这个词，或许“张量”这个名字的意思就是“可以张成很多线性代数研究对象的量”。

下一节，我们会仔细研究下，张量是怎么去表示向量空间、矢量、线性映射的，以及不同基下的转换规则是什么。

• 如何理解张量，二
• 如何理解张量，三