LeetCode 2111. 使数组 K 递增的最少操作次数_使得原序列严格递增的求最小操作次数

一、题目

1、题目描述

  给你一个下标从 $0$ 开始包含 $n$ 个正整数的数组 arr，和一个正整数 k。如果对于每个满足 k <= i <= n-1的下标 $i$ ，都有 arr[i-k] <= arr[i]，那么我们称 arr是 k递增 的。
  每一次操作中，你可以选择一个下标 $i$ 并将 arr[i]改成任意正整数。请你返回对于给定的 k，使数组变成 k递增的最少操作次数 。
  样例输入： arr = [5,4,3,2,1], k = 1
  样例输出： 4

2、基础框架

• C语言 给出的基础框架代码如下：

int kIncreasing(int* arr, int arrSize, int k){
}
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3、原题链接

LeetCode 2111. 使数组 K 递增的最少操作次数

二、解题报告

1、思路分析

  $(1)$ 如果 $k=1$，我们是不是就是单纯的求这个数组，把它任意数改成完以后，能够得到的递增序列的最少操作数。
  $(2)$ 如果 $k>1$，其实就是分别求 $k$ 个序列的最少操作数。
  $(3)$ 所以，只需要考虑 $k=1$ 的情况，对于 $k>1$ 的情况，其实就是调用同一个函数求解即可。
  $(4)$ 对一个长度为 $n$ 的序列，求出它的最长单调不降子序列，长度为 $l$，则最少操作数就是两者的差值 $n-l$。
  $(5)$ 累加所有的差值就是最后的答案。
  $(6)$ 由于数据量的限制，所以 最长单调不降子序列 只能采用 $O(nlogn)$ 的算法，令 g[i]表示长度为 i的最长单调不降子序列的最后一个元素的值，那么它一定是越小越好（这是一个贪心的思想）。
  $(7)$ 我们来仔细思考一下这个贪心思想，对于两个长度都为 4 的 最长单调不降子序列 来说，如图所示：

  保留[0, 1, 3, 5]一定会比[1, 4, 7, 9]更优，为什么呢？比如我们来了一个 7，它能够接到 5后面，使得我的序列变长；但是，却不能接到9的后面。所以[1, 4, 7, 9]可以舍去。
  $(8)$ 那么，我们真的要保留[0, 1, 3, 5]吗？答案是否定的。因为对于一个序列它一定是单调不降的，而进行状态转移的时候只需要考虑最后一个元素，所以我们只需要保存最后一个元素，也就是对于长度为 4的情况，我们只需要保留 5就可以了。这就是上文提到的 g[4]。
  $(9)$ 对于所有的 $i$，我们都把 $g[i]$ 求出来，这样是不是就可以把最大的长度给求出来啦。
  $(10)$ $g[i]$ 这个数组这么定义有什么好处呢？好处就是它是一个单调不降的序列，我们可以对它进行二分查找以及插入。也就是可以通过 O(logn) 的时间复杂度快速更新 $g[i]$ 的值。
  $(11)$ 对于每个元素 $v=a[i]$，我们需要去 $g[]$ 数组里面，找到一个位置 $x$，满足 $v<g[x]$，并且 $x$ 要尽量的小。由于 $g[]$ 是单调不降的，所以可以利用二分查找。
  $(12)$ 如果对最长单调子序列还不是很明白，可以参考我的专栏：夜深人静写算法（二十）- 最长单调子序列。

2、时间复杂度

   最坏时间复杂度 $O(nlogn)$ 。

3、代码详解

int g[100005];   // g[i] 表示长度为 i 的最长单调不降子序列的最后一个元素的值


int maxLongestNonDescendingSeq(int *a, int size) {
    int gsize = 0;
    int i, x, v;
    int l, r, mid;
    
    for(i = 0; i < size; ++i) {
        v = a[i];
        x = -1;
        l = 0;
        r = gsize - 1;
        while(l <= r) {
            mid = (l + r) >> 1;
            if(v < g[mid]) {
                x = mid;
                r = mid - 1;
            }else {
                l = mid + 1;
            }
        }

        if(x == -1) {
            g[gsize++] = v;
        }else {
            g[x] = v;
        }
    }
    return gsize;
}

int kIncreasing(int* arr, int arrSize, int k){
    int i, j;
    int ans = 0;
    int tmp[100005], tmpSize;

    for(i = 0; i < k; ++i) {
        tmpSize = 0;
        for(j = i; j < arrSize; j += k) {
            tmp[tmpSize++] = arr[j];
        }
        ans += tmpSize - maxLongestNonDescendingSeq(tmp, tmpSize);
    }
    return ans;
}
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三、本题小知识

  思考：如果要求严格递增的话要怎么做呢？

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四、加群须知

  相信看我文章的大多数都是「 大学生 」，能上大学的都是「 精英 」，那么我们自然要「 精益求精 」，如果你还是「 大一 」，那么太好了，你拥有大把时间，当然你可以选择「 刷剧 」，然而，「 学好算法 」，三年后的你自然「 不能同日而语 」。
  那么这里，我整理了「 几十个基础算法 」 的分类，点击开启：

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