【计算机系统结构】基本互连函数详细图解_互联函数

1.恒等函数

恒等函数：是相同输入端和输出端进行连接。例如0连0，1连1。
我们可以把函数左边看为输入端，右边看为输出端，恒等函数的输入输出没有改变。
$$I(x_{n-1}{x}_{n-2}...x_1{x}_0)=x_{n-1}{x}_{n-2}...x_1{x}_0$$

我们假设结点N=8，所以只需要用n=3就能表示。
$$I(x_2{x}_1{x}_0)=x_2{x}_1{x}_0$$
关于为什么可以用n=3表示8个结点？
我们可以把n=3看成3位，用二进制来求出结点。
例如：000(结点0)、001(结点1)…111(结点7) 依次类推正好可以表示8个结点。
我们可以从恒等函数可以看出输出端x2x1x0的位置没有改变，所以连接方式如下：

2.交换函数

交换函数：二进制地址编码中第k位输入端和输出端进行互反连接。
$$E(x_{n-1}{x}_{n-2}...x_{k+1}{x}_k{x}_{k-1}...x_1{x}_0)=x_{n-1}{x}_{n-2}...x_{k+1}{x}_k(k处取反)x_{k-1}...x_1{x}_0$$

我们假设结点N=8时，只需要n=3就能表示，所以二进制地址编码有3位。

当k=0位取反时，也称为Cube0。
例：输入端位000，则输出端位001，则把第0个结点和第1个结点进行连接。其他依次类推。

当k=1位取反时，也称为Cube1。
例：例：输入端位000，则输出端位010，则把第0个结点和第2个结点进行连接。其他依次类推。

当k=2位取反时，也称为Cube2。
例：例：输入端位000，则输出端位100，则把第0个结点和第4个结点进行连接。其他依次类推。

所以图像可得：

3.均匀洗牌函数

均匀洗牌函数：把输入端的二进制编号循环左移一位，得到输出端，然后连接输入端与输出端。
$$\sigma (x_{n-1}{x}_{n-2}...x_1{x}_0)=x_{n-2}...x_1{x}_0{x}_{n-1}$$

我们假设结点N=8时，只需要n=3就能表示，所以二进制地址编码有3位
$$\sigma (x_2{x}_1{x}_0)=x_1{x}_0{x}_2$$
例如：输入端是001时，则将它进行循环左移一位，得到010，其他依次类推。

所以图像可得：

4.蝶式函数

蝶式函数：把输入端的二进制编号的最高位与最低位互换，得输出端然后进行连接。
$$\beta (x_{n-1}{x}_{n-2}...x_1{x}_0)=x_0...x_1{x}_{n-1}$$
我们假设结点N=8时，只需要n=3就能表示，所以二进制地址编码有3位
$$\beta (x_2{x}_1{x}_0)=x_0{x}_1{x}_2$$
例如：输入端是001时，则把最高位与最低位进行互换，得到了100，其他依次类推。

然后你看得了上面的图，这个图应该也会画，图省（毕竟画图有点累）。

5.反位序函数

反位序函数：将输入端的二进制编号的各位次序颠倒过来，得到输出端，然后连接。
$$\rho (x_{n-1}{x}_{n-2}...x_1{x}_0)=x_0{x}_1...x_{n-1}$$

我们假设结点N=8时，只需要n=3就能表示，所以二进制地址编码有3位
$$\rho (x_2{x}_1{x}_0)=x_0{x}_1{x}_2$$
例如：输入端是001时，则把次序颠倒，得到了100，其他依次类推。

6.PM2I函数

PM2I函数：将输入端用下列函数来错开一定的位置(取模N)得到输出端，进行连接。
$$PM{2}_{+i}(x)=(x+2^i)modN$$
$$PM{2}_{-i}(x)=(x-2^i)modN$$

当N=8时，可以得到如下6个PM2I函数(+0、-0、+1、-1、+2、-2)
例：把+1函数进行举例
0开始，进行0加上2的一次方，得到2，然后依次+2；当等于6时，6+2=8然后对它进行取模8，得到0；从1开始进行相同的操作。