采样方法_采样估计期望

作者：菜鸟追梦旅行 | 2024-04-01 14:08:35

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采样估计期望

Why Sampling

一般来说，采样的目的是评估一个函数在某个分布上的期望值。采样的关键是如何按照指定的概率分布 $p$ 进行样本采样。

E_{x \sim p} [f (x)], p is a distribution

$E_{x\sim p}[f(x)], \textit{p is a distribution}$

Sampling Method

Importance Sampling
采样的目的：其实就是想求得 $E_{x\sim p}[f(x)]$ ，对于连续型概率分布，也就是：
$E [f (x)] = \int_{x} f (x) p (x) d x$ $E[f(x)]=\int_{x}f(x)p(x)dx$
如果符合 $p(x)$ 分布的样本不太好生成，我们可以引入另一个方便生成样本到的分布 $q(x)$ 。
$\int_{x} f (x) p (x) d x = \int_{x} f (x) \frac{p (x)}{q (x)} q (x) d x = \int_{x} g (x) q (x) d x$ $\int_{x}f(x)p(x)dx=\int_{x}f(x)\frac{p(x)}{q(x)}q(x)dx=\int_{x}g(x)q(x)dx$
where $g(x)=f(x)\frac{p(x)}{q(x)}=f(x)w(x), w(x)—\textrm{importance weight}$
所以我们将原问题转化为了求 $g(x)$ 在 $q(x)$ 分布下的期望。

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