概率统计问题总结_两个玩家轮流抛掷一枚正面朝上的概率为p的硬币,第一个

概率论与数理统计
1.两个人轮流抛硬币，规定第一个抛出正面的人可以吃到苹果，请问先抛的人能吃到苹果的概率多大？ （如果概率变化 思路也是一样的 例：A和B两人在球场上进行踢点球比赛，两人交换着踢，先进球者获胜。A踢进的概率为0.6，B踢进的概率为0.5。假设A先踢，那么A最后获胜的概率是）
思路：涉及到轮流抛硬币的，一般是等比数列求和之类的，将结果分为1，3，5，7，…
$$\frac{1}{2}+(\frac{1}{2}\ast \frac{1}{2})\ast \frac{1}{2}+.....$$
根据等比数列的前n项和公式：
结果为：$$\frac{1}{2}\ast (\frac{1}{1-\frac{1}{4}})=\frac{1}{2}\ast \frac{4}{3}=\frac{2}{3}$$

2.A,B,C三人轮流扔硬币，第一个扔到正面的人算赢，问三个人赢的概率分别为多大？
解法同题1

3.AB 两人比赛投篮，假设两人命中率均为 50%。当 A 投了 51 次篮，B 投了 50 次篮时，A 的进球数比 B 多的概率是 等同于甲乙投硬币的题
思路：就是看最后一次是否投进
答案 $$\frac{1}{2}$$

4.有4种颜色的球，白的有13个，绿的有11个，黑的有18个，红的有25个，至少取出多少个球，才能保证有15个颜色一样（）
思路：取得顺序为：白绿黑红各一个，直到绿的取完，44个球，再取完白的，一共50个球，51和52黑红各取1个，第53次无论取黑红哪一个，都会有一种球数量达到15个，所以答案为53

5.双色球问题，在一个不透明的箱子里面均匀的分布着相同的6颗色红球和3颗篮色球，求随机的抽两次球，中一个蓝色球和一个红色球的概率？（）
注意：要搞清楚是放回还是不放回

6.N-gram是一种简单有效的统计语言模型，通常n采用1-3之间的值，它们分别称为unigram、bigram和trigram。现有给定训练语料合计三个文档如下：
D1： John read Moby Dick
D2： Mary read a different book,
D3： She read a book by Cher
利用bigram求出句子“John read a book”的概率大约是（ ）

7.假设有三个人同时参加这场笔试，假设满分为1，三个人的得分符合分布U（0，1）。那么三个人最低分的期望为？（）

8.Alice和Bob玩抛硬币游戏，游戏规则如下：
(1)、不断抛掷硬币，直到某一方获胜，游戏终止
(2)、Alice获胜的条件为：第i轮结果为正面朝上，第i+1轮结果为反面朝上
(3)、Bob获胜的条件为：第i轮结果为反面朝上，第i+1轮结果也为反面朝上
问Alice获胜的概率是多少？（）
思路：B赢的前置条件是反面，但从第二次抛开始，若是反面就游戏结束，所以B要么在抛两次之后赢，要么就没有机会再赢了。所以B赢得概率就是1/2*1/2=0.25

9.三个骰子摇到的点数之和为（）的概率最大？
思路：三个骰子点数之和的范围是3~18，越靠近两边出现的概率越小，因此点数和概率最大的情况应该出现在中间位置。计算中间9,10,11,12，答案是10，11，可以验证

10.老王有两个孩子，已知至少有一个孩子是在星期二出生的男孩。问：两个孩子都是男孩的概率是多大？
思路：条件概率
男，周二：1/14
男，非周二：6/14
女，周二：1/14
女，非周二：6/17
两个孩子至少一个是周二生的男孩：1/14+1/14-1/141/14=27/196
两个孩子都是男孩且至少一个是周二生的：1/141/14+1/146/14+6/141/14=13/196
条件概率：13/27

11.小a和小b一起玩一个游戏，两个人一起抛掷一枚硬币，正面为H，反面为T。两个人把抛到的结果写成一个序列。如果出现HHT则小a获胜，游戏结束。如果HTT出现则小b获胜。小a想问一下他获胜的概率是多少？
随机过程中的First Step Analysis
设P_s表示状态为s时’HHT’发生的概率。显然我们有P_HHT=1以及P_HTT=0。
状态转移图如下:

Nill表示还没有抛时的状态，这时有1/2的概率变成H还有1/2的概率变成T，变成T时相当于又回到Nill。
我们要求的即P_Nill。
由状态转移图，可以列出式子:
P_Nill = 1/2P_Nill + 1/2P_H
P_H = 1/2P_HH + 1/2 * P_HT
P_HH = 1/2P_HH + 1/2P_HHT
P_HT = 1/2P_H + 1/2*P_HTT
p_HHT = 1
P_HTT = 0
最后可以解得 P_Nill = 2/3。

12.一个机器人玩抛硬币的游戏，一直不停的抛一枚不均匀的硬币，硬币有A,B两面，A面的概率为3/4，B面的概率为1/4。问第一次出现连续的两个A面的时候，机器人抛硬币的次数的期望是多少？
思路：类似于随机过程
假设T为扔的次数（期望）。 那么如果扔到B，则重新开始扔，即再扔T次。
第一次扔到B，则重新扔，即1/4*(1+T)；这时1+T是结束游戏所扔次数；
第一次扔到A，第二次扔到B，重新扔，即3/41/4(2+T)；2+T是结束游戏所仍次数；
第一次扔到A，第二次扔到A，结束游戏。3/43/42；2为结束游戏所仍次数；
所以T=1/4*(1+T)+3/4 1/4(2+T)+3/4 *3/4 *2；算得T为28/9

13.假设一段公路上，1小时内有汽车经过的概率为96%，那么，30分钟内有汽车经过的概率为?
一小时有车的概率 = 1 - 一小时没车的概率 = 1 - 两个半小时都没车的概率 = 1 - （1 - 半小时有车的概率）^2
1-(1-x)^2=0.96
x = 0.8

14.平均要取多少个(0,1)中的随机数才能让和超过1。

任取n个0到1之间的实数，这些数之和小于1的概率：
(1) n=1，p1 = 1 = 1/1!

(2) n=2，p2 = 1/2 = 1/2!

二维空间中x+y<1的几何分布模型

(3) n=3，p3 = 1/6 = 1/3!

三维空间中x+y+z<1在单位立方体中截得三棱锥的体积

∫(0..1) (x^2)*1/2 dx = 1/6

(4) n=4，p4 = 1/24 = 1/4!

四维空间中单位立方体一角的“体积”，其“底面”为一个体积为1/6的三维体

 ∫(0..1) (x^3)*1/6 dx = 1/24

    依此类推， n 个随机数之和不超过 1 的概率就是 1/n! ，反过来 n 个数之和大于 1 的概率就是 1 - 1/n! ，因此加到第 n 个数才刚好超过 1 的概率就是

       (1 - 1/n!) - (1 - 1/(n-1)!) = (n-1)/n!

    因此，要想让和超过 1 ，需要累加的期望次数为

       ∑(n=2..∞) n * (n-1)/n! = ∑(n=1..∞) n/n! = e
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26

15.在三角形的三个顶点上各有一只蚂蚁，它们向另一个顶点运动，目标随机(可能为另外两个顶点的任意一个)。问三只蚂蚁不相撞的概率是多少？
思路：每个蚂蚁可以选择的路径有2种，则3只蚂蚁可选的总路径为：2^3=8;满足3只蚂蚁不相撞的路径只有：顺时针+逆时针2种；故概率为：2/8=1/4.

16.圆内接三角形是锐角三角形概率是多少（）

17.一条直线上随机落两个点，将这条直线划分为 3 段，问这 3 段直线能构成三角形的概率为

18.有三个黑气球，其中只有一个黑气球中有金币，你可以任意选择任何一个气球，而主持人在剩下的气球中打破一个气球，然后告诉你里边没有金币:你还有一次机会，既可以坚持选择，也可以换另外一个未打破的气球。如果你选择换的话获得金币的概率为() （三门问题）
如果你第一次选择有金币的气球（1/3的概率），那么你换了之后肯定得不到金币，所以这种情况下得到金币的概率是1/30=0。如果你第一次选择没有金币的气球（2/3的概率），那么你换了之后，剩下的那个没有破的气球里面就是金币，所以这种情况下得到金币的概率是2/31=2/3。总概率0+2/3=2/3。

19.有1,2,3,…无穷个格子，你从1号格子出发，每次1/2概率向前跳一格，1/2概率向前跳两格，走到格子编号为4的倍数时结束，结束时期望走的步数为____
思路：有点类似动态规划
f[i]: 目前在点i，期望再走多少步结束
f[0] = 0.5 f[1] + 0.5 f[2] + 1
f[1] = 0.5 f[2] + 0.5 f[3] + 1
f[2] = 0.5 f[3] + 1
f[3] = 0.5 f[1] + 1+0.5f[0]
解的f[0] =18/5;

20.在一冒险游戏里，你见到一个宝箱，身上有N把钥匙，其中一把可以打开宝箱，假如没有任何提示，随机尝试，问：
（1）恰好第K次（1=<K<=N）打开宝箱的概率是多少。
（2）平均需要尝试多少次

（1）恰好第K次（1=<K<=N）打开宝箱的概率是多少。
(1-1/n)(1-1/(n-1))(1-1/(n-2))***(1/(n-k+1)) = 1/n
（2）平均需要尝试多少次。

这个就是求期望值 由于每次打开宝箱的概率都是1/n，则期望值为： 1*(1/n)+2*(1/n)+3*(1/n)+…+n*(1/n) = （n+1）/2

21.一堆硬币,一个机器人,如果是反的就翻正,如果是正的就抛掷一次,无穷多次后,求 正反的比例()
A 3:1 B 2:1 C 4:1 D 6:1
思路：直接考虑最后稳定下来的状态：稳定下来再变也还是原来的比例，所以结果为2：1

22.黑白球各5000个，每次从其中取两个出来，若同色，则放回一个黑球，否则放回一个白球，问最后剩下的是黑球的概率是多少？
思路：
因为白球取出2个放回0个，取出1个放回1个，所以白球个数始终为偶数。
所以不管前面若干个球操作是怎么进行的，最后两球只有两种情况：2黑或者2白。
如果2黑，取出放回黑，最后只剩下黑；
如果2白，取出放回黑，最后只剩下黑；
最终无论如何总会剩下黑球。

23.某次买可乐集瓶盖活动中有5种不同的瓶盖以等概率出现，每买一瓶汽水可得到一个瓶盖，集齐所有瓶盖所买汽水瓶数的期望，与以下哪个结果最为接近？11次
答案是11+5/12. 设 E(i) 表示 目前已有i个不同瓶盖集齐五个不同瓶盖所需的瓶子个数期望。
E(0) = E(1)+1 , 需要一个瓶盖跳到E(1)
E(1) = (E(2)+1)*4/5+(E(1)+1)*1/5
E(2) = (E(3)+1)*3/5+(E(2)+1)*2/5
E(3) = (E(4)+1)*2/5+(E(3)+1)*3/5
E(4) = (E(5)+1)*1/5+(E(4)+1)*4/5
E(5) = 0

24.硬币游戏：连续扔硬币，直到某一人获胜。A获胜条件是先正后反，B获胜是出现连续两次反面，问AB游戏时A获胜概率是（）？
A赢，那么：
1，第一次出现正面：
正反，正正反，正正正反，。。。。。
此时的概率： 0.5^2+0.53+…… = 1/2

2，第一次出现反面：
反正反，反正正反，反正正正反。。。。
此时概率： 0.5^3+0.54+…… = 1/4
故A赢的概率 3/4

25.一个骰子，6面，1个面是 1， 2个面是2， 3个面是3， 问平均掷多少次能使1、2、3都至少出现一次！
具体的计算在此做一下推导，设E_123为至少出现一次1、2、3的投掷期望次数，E_12,E_13等类推
则我们有
E_123 = 1/2(1+E_12)+1/3(1+E_13)+1/6(1+E_23)
E_12 = 1/3(1+E_1)+1/6(1+E_2)+1/2(1+E_12)
E_13 = 1/2(1+E_1)+1/6(1+E_3)+1/3(1+E_13)
E_23 = 1/2(1+E_2)+1/3(1+E_3)+1/6(1+E_23)
E_1 = 1/p_1 = 6
E_2 = 1/p_2 = 3
E_3 = 1/p_3 = 2
1/2(1+E_12)的解释为，在投掷E_12次已经出现了1和2，再投1次出现3。
解上式方程就可得到E_123 = 4+2.5+0.8=7.3

26.有一枚硬币,以p的概率产生正面，以1-p的概率产生背面，如何利用它产生个0.5概率的生成器？
答案：产生两次，正反和反正是合法，且概率为1/2，其他的舍去

27.某公司有这么一个规定：只要有一个员工过生日，当天所有员工全部放假一天。但在其余时候，所有员工都没有假期，必须正常上班。假设一年有365天，每个员工的生日都概率均等地分布在这365天里。那么，这个公司需要雇用多少员工，才能让公司一年内所有员工的总工作时间期望值最大？
一个人，对于任意一天，过生日的概率是 1 / 365, 不过生日的概率是 364 / 365
n个人，对于任意一天，没任何人过生日的概率是(364 / 365)^n
n个人，对于任意一天，有人过生日的概率是 1 - (364 / 365)^n
那么365天里有人过生日的期望天数是 365（1 - (364 / 365)^n）天，
则n个人，365天，每个人工作的期望天数是365 - 365（1 - (364 / 365)^n） = 365(364 / 365)^n
从而所有人的期望工作天数的和为：365n(364 / 365)^n，求导数，导数不小于0，递增。

28.小明在玩一个扔骰子游戏，每次扔出会随机等概率得到1到6的点数，现在他开始扔骰子，并把每次得到的点数累加（从0开始），如果某一次他扔完之后的累加和恰好为2015则为成功，越过2015为失败（即某次从小于2015的某个数加完后变为大于2015的某个数），小明成功的概率约为____。

29.如何用一枚硬币等概率地产生一个1到3之间的随机整数?如果这枚硬币是不公正的呢？
如果是公正的硬币，则投掷两次，“正反”为1，“反正”为2，“正正”为3，“反反”重来。
如果是不公正的硬币，注意到出现“正反”和“反正”的概率一样，因此令“正反反正”、“反正正反”、“正反正反”分别为1、2、3，其余情况重来。另一种更妙的办法是，投掷三次硬币，“正反反”为1，“反正反”为2，“反反正”为3，其余情况重来。

还有个不会，也没人回答