模拟退火解决背包问题_模拟退火算法解决背包问题

问题重述 

经典解法：整数规划 

        如图为清风老师讲义中的背包问题 ，其给出的解法为整数规划，代码如下：

%% 背包问题（货车运送货物的问题）
c = -[540 200 180 350 60 150 280 450 320 120];  % 目标函数的系数矩阵(最大化问题记得加负号)
intcon=[1:10];  % 整数变量的位置(一共10个决策变量，均为0-1整数变量)
A = [6 3 4 5 1 2 3 5 4 2];  b = 30;   % 线性不等式约束的系数矩阵和常数项向量（物品的重量不能超过30）
Aeq = []; beq =[];  % 不存在线性等式约束
lb = zeros(10,1);  % 约束变量的范围下限
ub = ones(10,1);  % 约束变量的范围上限
%最后调用intlinprog()函数
[x,fval]=intlinprog(c,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
fval = -fval

模拟退火

        我尝试了一下用模拟退火求解，也可得到相同的答案，下面为求解过程。模拟退火是一种材料退火过程的仿真优化算法，通过Matropolis准则对随机解进行筛选与迭代，从而完成最优解的求解的方法。

        着重介绍一下metropolis准则，这也是模拟退火算法的重点所在。Metropolis  准则在物理上是指在温度下降过程中，粒子的移动产生了新的状态，若新状态的能量更小，则接受新状态，反之，考虑热运动的影响，就以某个概率判断是否接受新状态。在模拟退火算法的搜索过程中，如果算法在某个区域得到了一个适应度值比当前解更差的新解，就使用 Metropolis  准则判断是否接受新解。通过使用 Metropolis  准则，模拟退火算法可以接受较差的解，具备了跳出局部最优陷阱的能力。

        对于背包问题，初始解的生成可以采用数组形式，这一点和我之前文章中处理旅行商问题是一样的。不同点在于，此处生成的是0-1序列，因为背包问题解决的根本逻辑是整数规划中的0-1规划。新解的产生只要随机将序列中的0变成1或1变成0即可。这时候便产生一个新的问题，新解中多少个0变成1和多少个1变成0是最有效率的？这也是在该问题中算法优化的主要方向。

参数设定

        将各个物理参数和目标参数用类的形式整合在一起，一目了然。模拟退火的外在框架是一个马尔可夫链。每一个温度下，新解的产生都是一个马尔科夫链循环。马尔科夫链即无记忆序列，在同一温度下多次计算可以保证结果的稳定性，但马尔科夫链太长算法的速度便不能保证。其他参数为固体退火基本参数，详细参考模拟退火物理原理，此处不做过多解释。惩罚系数作用于罚函数，此处笔者也不是很了解，一般取1.5。

%% 背包问题
clear;clc
 
%% 设置求解问题的参数
problem.numVar = 10;       %变量个数
problem.fun = @(x)obj_fun(x); %优化目标函数名称
problem.fun_CV = @(x)obj_fun_CV(x);  %约束条件
 
%% 模拟退火的参数
SAParameters.temperature = 100;% 初始温度 设置的足够大的话，可以在初始拥有更好的性能
SAParameters.kb = 0.3; % 温度系数
SAParameters.alpha = 0.9; % 降温系数
SAParameters.penalty = 1.5; % 惩罚系数
SAParameters.num = 100; % 马尔可夫链长度
SAParameters.Tmin = 1; % 结束温度

目标函数

        参考0-1规划模型。决策变量x是个长度为10的序列，只包含0或1。0代表不运送该货物；1代表运送该货物。货物价值写在矩阵c中，通过与0-1矩阵的点乘便可求出总价值。具体写法如下：

function f = obj_fun(x) % 目标函数
    c = -[540 200 180 350 60 150 280 450 320 120]; 
    f = c.*x;
    f = sum(f);
end

罚函数

        约束条件为所装所有货物重量小于等于30。因此要对货物质量大于30的解进行惩罚。A为各货物的重量矩阵，通过与0-1矩阵的点乘便可求出货物总重量。具体写法如下：

function CV = obj_fun_CV(x)  % 约束条件函数
    A = [6 3 4 5 1 2 3 5 4 2];
    g1 = sum(A.*x)-30;
    G1 = (g1>0)*g1; % 大于30时候对其进行惩罚
    CV = G1;
end

初始解生成

        初始解必须是一个可行解，因此全部为1的序列肯定不行，需要对序列进行随机扰动，并且让该序列的解满足罚函数值为0（即满足约束条件）。

%% 解的初始化，产生一个可行解
variables = ones(1,10);
while 1
    temp = ceil(rand.*problem.numVar);
    variables(temp) = ~variables(temp);
    CV = problem.fun_CV(variables);
    if CV == 0
        break
    end
end
var_final = variables; % 初始化最终最优解
T = SAParameters.temperature; % 初始化温度
E0_OBJ = problem.fun(variables); % 初始化目标函数值
E0_CV = problem.fun_CV(variables); % 初始化CV值
E0 = E0_OBJ+SAParameters.penalty*E0_CV; % 最终目标值
E_OBJ_f = E0; % 初始化最佳温度

退火过程

        通过随机扰动，随机将序列中的1变成0或0变成1，作为新解。此处有很大优化空间，直接决定算法的速度。笔者此处是对整个序列进行随机01变动，但这种方法显然很慢。不过暂时没有想到更好的方法。。。

%% 退火过程
while (T>=SAParameters.Tmin) % 开始降温
    for i = 1:SAParameters.num % 马尔科夫链
        variables_temp = variables; % 用于暂时存放原来的解 
		%% 新解的产生,随机扰动法
        temp = ceil(rand.*problem.numVar);
        variables(temp) = ~variables(temp);
        %% 移动后的目标值计算
        E_OBJ = problem.fun(variables); % 移动后的目标函数值
        E_CV = problem.fun_CV(variables); % 移动后的CV值
        E = E_OBJ+SAParameters.penalty*E_CV;
        dE = E-E0;
        if (E_OBJ<=E_OBJ_f && E_CV==0)
           var_final = variables; % 适应度更小且满足约束条件，保留解
           E_OBJ_f=E_OBJ;
        end
        prob=exp(-dE/SAParameters.kb/T);
        if(dE>0 && rand()>prob)
            variables = variables_temp; % 不满足Metropolis准则，还原解
        end
        E0_OBJ=problem.fun(variables); %初始目标函数值
        E0_CV=problem.fun_CV(variables); %初始CV值
        E0=E0_OBJ+SAParameters.penalty*E0_CV;
    end
T = T*SAParameters.alpha; % 降温
end
E_OBJ_f = -E_OBJ_f;

总代码 

%% 背包问题
clear;clc
 
%% 设置求解问题的参数
problem.numVar = 10;       %变量个数
problem.fun = @(x)obj_fun(x); %优化目标函数名称
problem.fun_CV = @(x)obj_fun_CV(x);  %约束条件
 
%% 模拟退火的参数
SAParameters.temperature = 100;% 初始温度 设置的足够大的话，可以在初始拥有更好的性能
SAParameters.kb = 0.3; % 温度系数
SAParameters.alpha = 0.9; % 降温系数
SAParameters.penalty = 1.5; % 惩罚系数
SAParameters.num = 100; % 马尔可夫链长度
SAParameters.Tmin = 1; % 结束温度
 
%% 解的初始化，产生一个可行解
variables = ones(1,10);
while 1
    temp = ceil(rand.*problem.numVar);
    variables(temp) = ~variables(temp);
    CV = problem.fun_CV(variables);
    if CV == 0
        break
    end
end
var_final = variables; % 初始化最终最优解
T = SAParameters.temperature; % 初始化温度
E0_OBJ = problem.fun(variables); % 初始化目标函数值
E0_CV = problem.fun_CV(variables); % 初始化CV值
E0 = E0_OBJ+SAParameters.penalty*E0_CV; % 最终目标值
E_OBJ_f = E0; % 初始化最佳温度
 
%% 退火过程
while (T>=SAParameters.Tmin) % 开始降温
    for i = 1:SAParameters.num % 马尔科夫链
        variables_temp = variables; % 用于暂时存放原来的解 
		%% 新解的产生,随机扰动法
        temp = ceil(rand.*problem.numVar);
        variables(temp) = ~variables(temp);
        %% 移动后的目标值计算
        E_OBJ = problem.fun(variables); % 移动后的目标函数值
        E_CV = problem.fun_CV(variables); % 移动后的CV值
        E = E_OBJ+SAParameters.penalty*E_CV;
        dE = E-E0;
        if (E_OBJ<=E_OBJ_f && E_CV==0)
           var_final = variables; % 适应度更小且满足约束条件，保留解
           E_OBJ_f=E_OBJ;
        end
        prob=exp(-dE/SAParameters.kb/T);
        if(dE>0 && rand()>prob)
            variables = variables_temp; % 不满足Metropolis准则，还原解
        end
        E0_OBJ=problem.fun(variables); %初始目标函数值
        E0_CV=problem.fun_CV(variables); %初始CV值
        E0=E0_OBJ+SAParameters.penalty*E0_CV;
    end
T = T*SAParameters.alpha; % 降温
end
E_OBJ_f = -E_OBJ_f;

最终结果

模拟退火结果

        这是模拟退火过程求得的结果。

 整数规划结果

      

结论

        结果相同，证明该模拟退火算法程序是正确的。当然此题比较简单，如果数据更复杂，该算法程序的正确性和效率还有待考察。主要优化空间还在于新解的产生上。笔者在此抛砖引玉，读者若有好想法也可以在评论区交流。