$\left\{\begin{aligned}x_1+2x_2+5x_3 =7\\2x_1+3x_2+1x_3=8\end{aligned}\right.\Rightarrow A=\begin{pmatrix} 1&2&5\\2&3&1\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix} 1&2&5&7\\2&3&1&8\end{pmatrix}$

我们称A为系数矩阵(cofficient matrix),B为增广矩阵(augment matrix)

同时，我们习惯在矩阵 $A_{m\times n}$ 下方表示矩阵形状,如上述 $A_{2\times 3}$ 表示矩阵形状2行3列

运算

矩阵转置(transpose)

矩阵元素关于主对角线(主对角线元素:下标为ii即元素所在的位置行数等于列数,如 $a_{22}\ a_{33}\ ...$ )对称

$\begin{pmatrix} a_{11}&...&a_{1j}\\ ...&\ &...\\ a_{i1}&...&a_{ij}\\ \end{pmatrix}^{T}=\begin{pmatrix} a_{11}&...&a_{i1}\\ ...&\ &...\\ a_{1j}&...&a_{ji}\\ \end{pmatrix}\\$

如下，左边矩阵的主对角线元素为1和5的位置不变，其它元素以1和5为对称轴对称

$\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6 \end{pmatrix}^{T}=\begin{pmatrix}1&4\\2&5\\3&6 \end{pmatrix}$

加法(addition)

矩阵进行加法需要满足两个条件:①矩阵形状一样,如 $A_{m\times n}$ 可以与 $B_{m\times n}$ 运算而与 $C_{(m+1)\times n}$ 不可以 ②对应位置元素相加

$\begin{pmatrix} a_{11}&...&a_{1n}\\ ...&\ &...\\ a_{n1}&...&a_{nn}\\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} b_{11}&...&b_{1n}\\ ...&\ &...\\ b_{n1}&...&b_{nn}\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_{11}+b_{11}&...&a_{1n}+b_{1n}\\ ...&\ &...\\ a_{n1}+b_{n1}&...&a_{nn}+b_{nn}\\ \end{pmatrix}$

如:

$\begin{pmatrix}1&1&3\\4&2&4 \end{pmatrix}^{T}+\begin{pmatrix}1&4\\2&5\\3&6 \end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}1&4\\1&2\\3&4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&4\\2&5\\3&6 \end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}1+1&4+4\\1+2&2+5\\3+3&3+6 \end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}2&8\\3&7\\6&9 \end{pmatrix}$

数乘(scalar multiplication)

常数k分配到矩阵中的每一个元素

$k\times\begin{pmatrix} a_{11}&...&a_{1n}\\ ...&\ &...\\ a_{n1}&...&a_{nn}\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} ka_{11}&...&ka_{1n}\\ ...&\ &...\\ ka_{n1}&...&ka_{nn}\\ \end{pmatrix}\\$

如

$3\times\begin{pmatrix}1&4\\2&5\\3&6 \end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}1\times3&4\times3\\2\times3&5\times3\\3\times3&6\times3 \end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}3&12\\6&15\\9&18 \end{pmatrix}$

乘法(multiplication)

$A_{m\times n}\times B_{n\times k}=C_{m\times k}$ ，其中C中的元素

$c_{mk}=\begin{aligned}\sum_{j=1}^{n} a_{mj}b_{jk}\end{aligned}$

如:

$\begin{pmatrix}1&4\\2&5\\3&6 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}3&5&7\\2&4&6 \end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}1\times3+4\times2&1\times5+4\times4&1\times7+4\times6\\2\times3+5\times2&2\times5+5\times4&2\times7+5\times6\\3\times3+6\times2&3\times5+6\times4&3\times7+6\times6\\ \end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}11&21&31\\16&30&44\\21&39&57\end{pmatrix}$

分块(block matrix)

矩阵的行列式计算时可以将块矩阵当成整体计算,下面会详细介绍

共轭(conjugate)

矩阵中的元素实部不变，虚部变为原来的相反数

$A=\begin{pmatrix} a_{11}+b_{11}i&...&a_{1n}+b_{1n}i\\ ...&\ &...\\ a_{n1}+b_{n1}i&...&a_{nn}+b_{nn}i\\ \end{pmatrix},then\ \overline{A}=\begin{pmatrix} a_{11}-b_{11}i&...&a_{1n}-b_{1n}i\\ ...&\ &...\\ a_{n1}-b_{n1}i&...&a_{nn}-b_{nn}i\\ \end{pmatrix}\\$

如:

$\\A=\begin{pmatrix}1+i&2+i&3\\3+4i&4-6i&8-i\\\end{pmatrix}\\ \overline{A}=\begin{pmatrix}1-i&2-i&3\\3-4i&4+6i&8+i\end{pmatrix}$

共轭转置(conjugate transpose)

共轭转置本质上就是两种运算的结合，一种是共轭，另一种是转置，符号记为 $A^H$

$A^H=(\overline{A})^T$

$A=\begin{pmatrix} a_{11}+b_{11}i&...&a_{1n}+b_{1n}i\\ ...&\ &...\\ a_{n1}+b_{n1}i&...&a_{nn}+b_{nn}i\\ \end{pmatrix},then\ A^{H}=\begin{pmatrix} a_{11}-b_{11}i&...&a_{n1}-b_{n1}i\\ ...&\ &...\\ a_{1n}-b_{1n}i&...&a_{nn}-b_{nn}i\\ \end{pmatrix}\\$

如:

$\begin{aligned}A\ \ &=\begin{pmatrix}1+i&2+i&3\\3+4i&4-6i&8-i\\\end{pmatrix}\\ A^{H}&=(\overline{A})^{T}\\&=\begin{pmatrix}1-i&2-i&3\\3-4i&4+6i&8+i\end{pmatrix}^T\\&=\begin{pmatrix}1-i&3-4i\\2-i&4+6i\\3&8+i\end{pmatrix}\end{aligned}$

特殊矩阵

对称矩阵(symmetric matrix)

$A^{T}=A$

矩阵为方阵且关于对角线对称的元素相等

如:

$\begin{pmatrix}1&4&5\\4&3&2\\5&2&6\end{pmatrix}$
埃尔米特矩阵(Hermite matrix)

$A^{H}=A$

矩阵为方阵且关于对角线对称的元素共轭

$\begin{pmatrix}1+i&4-5i&5\\4+5i&3+9i&-2+i\\5&-2-i&6\end{pmatrix}$

正交矩阵(orthogonal matrix)

$A^{T}A=E$

矩阵列向量的膜为1，且俩俩相互正交

如:

$\begin{pmatrix} 1/\sqrt{5}&2/\sqrt{5}\\2/\sqrt{5}&-1/\sqrt{5}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \alpha_1&\alpha_2\end{pmatrix}\\||\alpha_1||=\sqrt{(1/\sqrt{5})^2+(2/\sqrt{5})^2}=1\\||\alpha_2||=\sqrt{(2/\sqrt{5})^2+(-1/\sqrt{5})^2}=1\\ \alpha_1 \cdot \alpha_2=(1/\sqrt{5})\times(2/\sqrt{5})+(2/\sqrt{5})\times(-1/\sqrt{5})=0$

带状矩阵(band matrix)

当 $|i-j|\geq m$ 时, $a_{ij}=0$ ,w=2m-1为其带宽

$\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}$

m=1,w=2 $\times$ 1-1=1

酉矩阵(unitart matrix)

即厄米共轭矩阵等于逆矩阵

$U^TU=UU^T=I$

性质

①酉矩阵不是一个奇异矩阵(一个行列式为0的方阵)

②酉矩阵可逆,且其逆也是一个酉矩阵

③酉矩阵相乘或相加仍是一个酉矩阵

④行向量俩俩正交，列向量俩俩正交

⑤酉矩阵可以不是方阵，但是必须满足④

如:

$\large \begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1i}{\sqrt{2}} &\frac{-1i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$

更详细的资料(为全英想了解或者英语好的小伙伴可以看下)

上下三角矩阵(triangular matrix)

上三角矩阵在行列式的计算中有一定作用，如行列式的值就等于其对应矩阵的迹(trace)

$\large |A|=tr(A)=\prod_{i=1}^{n}a_{ii}$

如:

$\begin{vmatrix}1&2&3\\&2&3\\&&5\end{vmatrix}=1\times2\times5=10$

相似矩阵(similar matrix)

满足 $\small A\sim B\leftrightarrow P^{-1}A\ P=B$ 就叫A与B相似

相似矩阵的秩相等,且tr(A)=tr(B)

相合矩阵（congruent matrix）

$C^{H}A\ C=B$ ,若C为实矩阵非复矩阵时，关系为合同(contract)

范德蒙(Vandermonde)矩阵

每一列或行呈几何级数关系,其行列式的值为:

$\small \begin{aligned}\sum_{1\leq i<j\leq n}^{n}(a_j-a_i)\end{aligned}$

以四阶行列式为例(第i次运算减去它上一行的 $\small a_i$ 倍)

$\small \small \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ a_1 &a_2 &a_3 &a_4 \\ a_1^2&a_2^2&a_3^2&a_4^2\\ a_1^3&a_2^3&a_3^3&a_4^3\\ \end{vmatrix}\\~\\= \begin{vmatrix} 1 &1 & 1 & 1 \\ 0 &a_2-a_1 &a_3-a_1 &a_4-a_1 \\ 0 &a_2^2-a_2a_1 &a_3^2-a_3a_1 &a_4^2-a_4a_1\\ 0 &a_2^3-a_2^2a_1&a_2^3-a_3^2a_1&a_4^3-a_4^2a_1\\ \end{vmatrix}\\~\\=(a_4-a_1)(a_3-a_1)(a_2-a_1) \begin{vmatrix} 1&1&1\\ a_2&a_3&a_4\\ a_2^2&a_3^2&a_4^2\\ \end{vmatrix}\\~\\=(a_4-a_1)(a_3-a_1)(a_2-a_1) \begin{vmatrix} 1&1&1\\ 0&a_3-a_2&a_4-a_2\\ 0&a_3^2-a_3a_2&a_4^2-a_4a_2\\ \end{vmatrix}\\~\\= (a_4-a_1)(a_3-a_1)(a_2-a_1)(a_3-a_2)(a_4-a_2) \begin{vmatrix} 1&1\\ a_3&a_4 \end{vmatrix}\\~\\=(a_4-a_1)(a_3-a_1)(a_2-a_1)(a_4-a_2)(a_3-a_2)(a_4-a_3)\\~\\= \begin{aligned}\sum_{1\leq i<j\leq 4}^{4}(a_j-a_i)\end{aligned}$

详情证明见百度百科范德蒙行列式第二部分定理

对角矩阵(diagonal matrix)

也叫标量阵

$\small \begin{pmatrix}a&&&&\\&b&&&\\&&c&&\\&&&...&\\&&&&n \end{}$

当a=b=c=...=n=1时我们称其为单位阵(identity matrix),记为E或I

夹克比矩阵(Jacobian matrix)

存储函数的偏导数

如:

已知:

$\left\{\begin{aligned}z_1=F(u,v,x,y)\\z_2=G(u,v,x,y)\end{aligned}\right.$

我们有

$\left\{\begin{aligned}z_{1x}=F_UU_x+F_VV_x\\z_{2y}=F_UU_y+F_VV_y\\z_{2x}=G_UU_x+G_VV_x\\z_{2y}=G_UU_y+G_VV_y\end{aligned}\right.$

u,v均可用x,y表达

所以对于x我们有:

$\left\{\begin{aligned}z_{1x}=F_U\frac{\partial U}{\partial x}+F_V\frac{\partial V}{\partial x}\\z_{2x}=G_U\frac{\partial U}{\partial x}+G_V\frac{\partial V}{\partial x}\end{}\right.$

我们得到夹克比(Jacobi determinant)行列式

$J=\frac{\partial (F,G)}{\partial(U,V)}=\begin{vmatrix}F_U&F_V\\G_U&G_V \end{}$

由于 $\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}$

我们有:

$\frac{\partial U}{\partial x}=-\frac{1}{J}\begin{vmatrix}z_{x1}&F_V\\ z_{x2}&G_V \end{}$

$\frac{\partial V}{\partial x}=-\frac{1}{J}\begin{vmatrix}F_U&z_{x1}\\ G_U&z_{x2} \end{}$

同理可得

$\frac{\partial U}{\partial y}=-\frac{1}{J}\begin{vmatrix}z_{y1}&F_V\\ z_{y2}&G_V \end{}$

$\frac{\partial V}{\partial y}=-\frac{1}{J}\begin{vmatrix}F_U&z_{y1}\\ G_U&z_{y2} \end{}$

旋转矩阵(Rotation matrix)

旋转矩阵是一种变换矩阵。该矩阵的目的是在欧式空间中执行并得到向量的旋转。我们可以通过旋转矩阵得到旧坐标系(笛卡尔坐标系)与选择后的坐标系之间的关系，也可以看成选择矩阵就是一种映射。

问题引入:在 $R^2$ 空间(2D平面)内有基底(1,0)(0,1),我们把这俩个基底组成一个矩阵

$\begin{pmatrix}1&0\\0&1 \end{}$ ,记作 $\begin{pmatrix}x,y \end{}$ 。

已知在这个空间中有一个点(a,b)当它绕着O点旋转θ度时，求其坐标。

看到这里，我们会首先想到旋转点，但是我们发现直接旋转点去求坐标的话，会发现计算求解会非常麻烦。因此我们可以换个思路，也就是旋转坐标系。

而旋转坐标系我们又会发现坐标系基底与坐标的关系

$\begin{pmatrix}1&0\\0&1 \end{}\begin{pmatrix}a&b \end{}=\begin{pmatrix}a&b \end{}$

那么我们就会想，会不会有这么个关系新坐标基底矩阵x原坐标=新坐标

我们可以知道，由于旋转,坐标基底(1,0)变为(cosθ,sinθ),(0,1)变为(-sinθ,cosθ)如下图。

最后我们得到新基底矩阵

$\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{}$

那么接下来就是证明:

$\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{}\begin{pmatrix}a\\b \end{}=\begin{pmatrix}a'\\b' \end{}$ 记为*式

我们采用极坐标证明令a=rcos

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