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位图的详解

位图的详解

目录

位图

位图的概念

位图的实现

位图常见三道面试题

1.给定100亿个整数,设计算法找到只出现一次的整数?

2. 给两个文件,分别有100亿个整数,我们只有1G内存,如何找到两个文件交集? 

3. 位图应用变形:1个文件有100亿个int,1G内存,设计算法找到出现次数不超过2次的所有整数.


位图

位图的概念

先来看一下位图的概念

位图 (Bitmap) 是一种基于位操作的数据结构,用于表示一组元素的集合信息。它通常是一个仅包含0和1的数组,其中每个元素对应集合中的一个元素。位图中的每个位(或者可以理解为数组的元素)代表一个元素是否存在于集合中。当元素存在时,对应位的值为1不存在时,对应位的值为0。位图常用于判断某个元素是否属于某个集合,或者对多个集合做交集、并集或差集等集合运算。

可能这么多听起来很复杂,其实总结下来就这个意思:

位图本质是个数组,用来存放0和1。

位图通过自身数组中的每个来代表集合(我们要处理的数据)中的元素,每个是0或1,代表元素的存在与否(0,不存在;1,存在)。

我们先看一下下面的例子:

给40亿个不重复的无符号整数,没排过序。给一个无符号整数,如何快速判断一个数是否在这40亿个数中。

1.首先当然可以遍历这40亿个数,这样效率会太低了,肯定直接pass掉.

2.也可以考虑搜索树或者哈希表,操作之前一定要把数据先存下来构建树或表。但是仔细一想,40亿个数,占多少空间?

40亿个无符号整数,每个大小4个字节,则一共占用160亿字节。

1GB = 1024 MB, 1MB  = 1024KB, 1KB = 1024Byte(字节).

所以一共占用16000000000/1024/1024/1024≈14.9G.

所以要用这些方法的话一上来就占用14.9G的系统内存,大多数电脑是吃不消的,更别说搜索树结点还存其他属性信息,现在内存16G的电脑也不算很多。这肯定不行的.

3.当然还可以存在磁盘上,进行外排序+二分查找。但是想一下,这一切是在磁盘上进行,磁盘的速度可是非常慢的,而且要对这么多数据排序,以及在磁盘上进行二分查找,无论代码还是时间都是复杂和比较慢的.

下一个方法,就是我们大名鼎鼎的位图来解决了,具体是怎么样的呢?

首先,我们要给数组开辟一块空间,这片空间我们开多少呢,要根据数据范围开空间,而不是数据个数。

这个我相信大家都能理解,毕竟如果只有两个数,一个是1,一个数是40亿,按数据个数开两个空间的话只能存下1和2,40亿肯定是存不下的。

所以无符号整型的数据范围是0~2^32-1,所以我们要开这么大的空间.那么一共多大呢?

由于我们是使用比特位进行表示每一个数是否存在的,所以相当于是2^32-1个比特位。由于1byte=8bit.根据上面所说,一共占用(2^32-1)/8/1024/1024/1024=0.5GB=512MB. 

所以我们开好空间以后,我们只需要将数对应的位置为1即可.

比如数据{1,4,9,15,17,23},在位图中是什么样的?

 这样到时候直接判断对应位置是不是1即可判断某个数是否存在.

具体怎么设置,取消,判断看下面。

位图的实现

主要包含三个核心接口:设置(设为1)、重置(设为0)、判断(是0还是1)

对于每一步可以看注释.

  1. #include<iostream>
  2. #include<vector>
  3. using namespace std;
  4. namespace hyx
  5. {
  6. //N代表数据范围
  7. template<size_t N>
  8. class bit_set
  9. {
  10. public:
  11. bit_set()
  12. {
  13. _bits.resize(N / 8 + 1, 0);
  14. }
  15. void set(size_t x)
  16. {
  17. //由于一个组是char,所以x/8是计算在哪个char组里
  18. size_t i = x / 8;
  19. //一个char里有8位,x%8是计算出在char组里面的具体哪一位
  20. size_t j = x % 8;
  21. //这个建议大家画图理解,首先_bits[i]是对应的char组,然后1<<j,其实是将1向左移动了j位,然后再或等,这样就把对应位置上的数置为1了,可以画图理解.
  22. _bits[i] |= (1 << j);
  23. }
  24. void reset(size_t x)
  25. {
  26. size_t i = x / 8;
  27. size_t j = x % 8;
  28. //也是先1向左移动j位,然后再按位取反,此时除了目标位是0,别的位都是1.然后再&上这个数,任何数&1都是它本身,&0都是0.所以此时将目标位设置为0
  29. _bits[i] &= ~(1 << j);
  30. }
  31. bool test(size_t x)
  32. {
  33. size_t i = x / 8;
  34. size_t j = x % 8;
  35. //任何数&1都是它本身,因为我们可以利用这一点来判断目标位是0还是1.
  36. //注意此时不再需要加等于号了,因为这是判断,不是修改。
  37. return _bits[i] & (1 << j);
  38. }
  39. private:
  40. vector<char> _bits;
  41. };
  42. }

 接下来你可以测试一些数据,比如set一些或reset一些.

当然如果想创建无符号整数的测试集,范围是0~2^32-1,可以直接用-1替代,因为-1的二进制是全1.

转化为无符号整数就是最大的。或者0xffffffff。同样地道理。如下

hyx::bit_set<-1> bs1;

这样创建即可.

位图常见三道面试题

下面来几个位图的拓展题:

1.给定100亿个整数,设计算法找到只出现一次的整数?

首先100亿个整数会不会有空间的问题?答案是肯定不会的,因为开空间和数据范围有关系,和数据个数没有关系,100亿个整数,每个数的范围都是42亿(2^32-1)之内,不会说有100亿个不重复的整数.

首先问题是找出现一次的整数,很明显是个key-value模型。那这至少需要两个位图了。所以就需要建立双位图解决.

既然求出现一次,那么肯定是以下三种情况:(左边次数,右边对应的位图状态)

0次                     00

1次                     01

2次及以上          10

所以上面可知,第二个位图是由两个位进行表示.这样又得需要各种控制,也是不太方便.

其实位图也是一个数据结构,STL库中也有对应的容器——bitset.

 那我们直接用两个位图分别表示这两个位不就可以了吗,当然!

所以我们要自己建立一个有两个位图的类,如下

整体思路是:依次判断两个位:

1.若为00,说明这个数一次也没出现过,将其改为01.即将第二个位图设为1.

2.若为01,说明这个数出现了一次,将其改为10,即第一个位图设为1,第二个位图设为0.

 后面可以写一个成员函数来输出符合条件的数:

  1. template <size_t N>
  2. class twobitset
  3. {
  4. public:
  5. void set(size_t x)
  6. {
  7. bool inset1 = _bs1.test(x);
  8. bool inset2 = _bs2.test(x);
  9. //00
  10. if (inset1 == false && inset2 == false)
  11. {
  12. //->01
  13. _bs2.set(x);
  14. }
  15. else if (inset1 == false && inset2 == true)
  16. {
  17. //->10
  18. _bs1.set(x);
  19. _bs2.reset(x);
  20. }
  21. }
  22. void print_once_num()
  23. {
  24. for (int i = 0; i < N; i++)
  25. {
  26. //筛选出两个位图为01的数
  27. if (_bs1[i] == false && _bs2[i] == true)
  28. {
  29. cout << i << endl;
  30. }
  31. }
  32. }
  33. private:
  34. bitset<N> _bs1;
  35. bitset<N> _bs2;
  36. };
  37. void test_oncenum()
  38. {
  39. int a[] = { 1,1,2,3,4,5,5,5,6,6,6,6,7,9,22 };
  40. twobitset<100> bs;
  41. for (auto e : a)
  42. {
  43. bs.set(e);
  44. }
  45. bs.print_once_num();
  46. }

 然后我们调用测试函数,得到:

可以发现已经输出了出现个数只为1的数.

2. 给两个文件,分别有100亿个整数,我们只有1G内存,如何找到两个文件交集? 

这道题比较简单,思路是建立两个位图,然后分别把两个文件里的数据set到位图里,然后最后将两个位图&一下,然后再从最后的结果中找位是1的即可(利用test).

3. 位图应用变形:1个文件有100亿个int,1G内存,设计算法找到出现次数不超过2次的所有整数.

这个题和1题类似,无非就是多了一种状态:3次及3次以上。最后对应的状态是以下这样:

0次                     00

1次                     01

2次                     10

3次及3次以上     11

然后要在twobitset的set中多加一个判断条件:当位图位10时,下一次改为11.

  1. //10
  2. else if (inset1 == true && inset2 == false)
  3. {
  4. //->11
  5. _bs2.set(x);
  6. }

然后输出的时候变化条件为bs1[i]==true和bs2[i]==true(11)即可.

至此,位图的所有内容就结束了,若有不懂或疑问的地方,欢迎私信或评论~

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