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多速率处理与滤波器设计_多采样率滤波器设计与定点化实现

作者：菜鸟追梦旅行 | 2024-05-11 23:55:23

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多采样率滤波器设计与定点化实现

一、滤波器设计

二、多速率处理

将一个信号从某一给定的采样速率转换到另一个不同采样率的过程称为采样率转换。

1. 整数倍抽样

$x[n] = x_c(nT)$

$x[n]$ 的离散时间傅里叶变换（DTFT）：

$X(e^{jw})=\frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} X_c \left[ j \left( \frac{w}{T} - \frac{2\pi k}{T} \right ) \right ]$

整数倍抽样后：

$x_d[n] = x[nM] = x_c(nMT)$

即： $T_d = MT$

$x_d[n]$ 的离散时间傅里叶变换（DTFT）：
$X_d(e^{jw})=\frac{1}{T_d} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} X_c \left[ j \left( \frac{w}{T_d} - \frac{2\pi r}{T_d} \right ) \right ] = \frac{1}{MT} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} X_c \left[ j \left( \frac{w}{MT} - \frac{2\pi r}{MT} \right ) \right ]$

令 $r = i + kM$ ，其中 $-\infty < k < \infty,0\leq i \leq M-1$

则

$X_d(e^{jw}) = \frac{1}{MT} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \sum_{i = 0}^{M-1} X_c \left[ j \left( \frac{w}{MT} - \frac{2\pi (i+kM)}{MT} \right ) \right ] \\= \frac{1}{M} \sum_{i=0}^{M-1} \frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} X_c \left[ j \left( \frac{w}{MT} - \frac{2\pi (i+kM)}{MT} \right ) \right ] \\= \frac{1}{M} \sum_{i=0}^{M-1} \frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} X_c \left[ j \left( \frac{w}{MT} - \frac{2\pi i}{MT} - \frac{2\pi k}{T}\right ) \right ] \\= \frac{1}{M} \sum_{i=0}^{M-1} \frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} X_c \left[ j \left( \frac{(w - 2\pi i) /M}{T} - \frac{2\pi k}{T}\right ) \right ] \\= \frac{1}{M} \sum_{i=0}^{M-1} X \left(e^{j (w-2\pi i)/M }\right)$

整数倍抽样后的数字信号 $x_d[n]$ 的离散时间傅里叶变换 $X_d(e^{jw})$ 可以看作是由频率受到 $M$ 倍扩展的，并按 $2\pi$ 的整数倍移位的 $M$ 个周期傅里叶变换 $X(e^{jw})$ 复本的幅度加权和。

连续时间信号 $x_c(t)$

采样信号 $x_s(t)$

离散时间信号 $x[n]$

整数倍抽样后信号 $x_d[n]$ ， $M = 2$ ，令 $\Omega_N T = \frac{\pi}{2}$

对应的采样信号 $x_ds(t)$

$X_d(e^{j\Omega}) = X_d(e^{jw})|_{w = \Omega T_d = \Omega MT} \\= \frac{1}{M} \sum_{i=0}^{M-1} X \left(e^{j (w-2\pi i)/M }\right) |_{w = \Omega T_d = \Omega MT} \\=\frac{1}{M} \sum_{i=0}^{M-1} X \left(e^{j ( \Omega MT-2\pi i)/M }\right) \\= \frac{1}{M} \sum_{i=0}^{M-1} X \left(e^{j \left( \Omega - \frac{2\pi i}{MT} \right ) T }\right)$

若 $X(e^{jw}) = 0$ ， $w_N \leq |w| \leq \pi$ ，且 $\frac{2\pi}{M} \geq 2w_N$ ，则抽样后不会产生混叠。

若M选取不合理，会导致混叠抽样，故一般在抽样前会加预滤波避免混叠。

2. 整数倍插值

$x_e[n] = \left\{\begin{matrix} x[n/L] & n = 0, \pm L, \pm 2L, \cdots \\ 0 & {\rm others} \end{matrix}\right. = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} x[k] \delta[n-kL]$

$X_e(e^{jw}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x_e[n] e^{-jwn} \\= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} x[k] \delta[n-kL] e^{-jwn} \\= \sum_{k=-\infty}^{+\infty} x[k] e^{-jwkL} \\= X(e^{jwL})$

插值后的序列

$x_i[n] = x_e[n] \otimes h_i[n] \\= \sum_{k=-\infty}^{+\infty} x[k] \delta[n-kL] \otimes \frac{\sin(\pi n/L)}{\pi n/L} \\= \sum_{k=-\infty}^{+\infty} x[k] \frac{\sin\left[ \pi (n-kL)/L \right ]}{\pi (n-kL)/L}$

但是无法实现，可采用简单线性插值

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