【算法思考】双目视差求像素深度公式理解_双目相机深度公式

作者：菜鸟追梦旅行 | 2024-05-20 06:00:42

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双目相机深度公式

背景

双目相机可以通过左右目图像的匹配得到每个像素的视差，即左眼像素 $u_l, v$ 能找到右眼图像中的匹配像素 $u_r, v$ ，注意经过极线校正后的双目相机，左眼和右眼互相匹配的像素有相同的纵轴坐标（纵轴坐标都是 $v$ ）。假设我们知道左眼某个像素的视差 $d=\vert u_l - u_r\vert$ , 那么如何求解这个像素的深度呢？下文我们就探究一下这个问题。

可视化理解

在这里插入图片描述

如上图所示，我们要求解的像素深度就是 $D$ 表示的是空间点到基线(baseline)的距离。而两个像素之间的视差呢，可以理解为 $d_1+d_2$ 。

推导

我们首先规定，以上的变量的单位都是(像素)。则我们可以看出来左眼形成了相似三角形，并且有 $\frac{d_1}{f}=\frac{a}{D-f}$ , 而右眼形成了相似三角形 $\frac{b}{D-f}=\frac{d2}{f}$ 。
因此我们可以得到

\begin{aligned} \frac{d_{1} + d_{2}}{f} = \frac{a + b}{D - f} \\ \frac{d_{1} + d_{2}}{f} = \frac{b s - (d_{1} + d_{2})}{D - f} \\ \frac{b s - (d_{1} + d_{2})}{d_{1} + d_{2}} = \frac{D - f}{f} \\ \frac{b s}{d_{1} + d_{2}} = \frac{D}{f} \\ D = \frac{b s \cdot f}{d_{1} + d_{2}} \end{aligned}

$\begin{aligned} &\frac{d_1+d_2}{f} = \frac{a+b}{D-f} \\ &\frac{d_1+d_2}{f} = \frac{bs - (d_1+d_2)}{D-f} \\ &\frac{bs - (d_1+d_2)}{d_1+d_2} = \frac{D-f}{f} \\ &\frac{bs}{d_1+d_2} = \frac{D}{f}\\ &D = \frac{bs\cdot f}{d_1+d_2} \end{aligned}$

\frac{d _{1} + d _{2}}{f} = \frac{a + b}{D - f} \frac{d _{1} + d _{2}}{f} = \frac{b s - ( d _{1} + d _{2} )}{D - f} \frac{b s - ( d _{1} + d _{2} )}{d _{1} + d _{2}} = \frac{D - f}{f} \frac{b s}{d _{1} + d _{2}} = \frac{D}{f} D = \frac{b s \cdot f}{d _{1} + d _{2}}

因此我们可以得到深度和视差的关系，其中 $d_1+d_2$ 就是视差。以上得到的关系都是以像素为单位，如果要切换到物理世界的长度单位，需要知道每个像素的长度 $s$ , 将得到的像素深度 $D$ 乘上 $s$ 即可。另外从上述公式我们可以看出来，视差越小，深度越大，也符合我们的直觉。

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