菜鸟追梦旅行

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高阶数据结构学习之图_图论高阶关系

作者：菜鸟追梦旅行 | 2024-05-26 10:19:56

踩

图论高阶关系

引入

树是一种特殊（无联通）的图
图不一定是树
树关注的节点（顶点）中存的值
图关注的是顶点及边（边可以代表两个顶点之间的关系）
图分为有向（类似单向链表）和和无向（类似双向链表）

图的存储结构

邻接矩阵

表示两个顶点的关系

无向图是一个对称矩阵

附带权值

邻接矩阵优势：
1.邻接矩阵存储方式非常适合稠密图
2.O(1)的判断俩个顶点的连接关系，并取到权值
…
缺点：
1.稀疏图
2.(相对而言)不适合查找一个顶点连接所有边，O(N);

邻接表

类似哈希表
在这里插入图片描述

优点：
1.适合存储稀疏图
2.适合查找一个顶点连接出去的边
缺点：
1.不适合确定两个顶点是否相连及权值

一般不需要存储入边表

总结：
邻接矩阵和邻接表属于相辅相成，各有优缺点的互补结构

概念

图是由顶点集合及顶点间的关系组成的一种数据结构：G = (V， E)，其中：顶点集合V = {x|x属于某个数据对象集}是有穷非空集合；

E = {(x,y)|x,y属于V}或者E = {<x, y>|x,y属于V && Path(x, y)}是顶点间关系的有穷集合，也叫做边的集合。

(x, y)表示x到y的一条双向通路，即(x, y)是无方向的；Path(x, y)表示从x到y的一条单向通路，即Path(x, y)是有方向的。

顶点和边：图中结点称为顶点，第i个顶点记作vi。两个顶点vi和vj相关联称作顶点vi和顶点vj之间有一条边，图中的第k条边记作ek，ek = (vi，vj)或<vi，vj>。

有向图和无向图：在有向图中，顶点对<x, y>是有序的，顶点对<x，y>称为顶点x到顶点y的一条边(弧)，<x, y>和<y, x>是两条不同的边，比如下图G3和G4为有向图。在无向图中，顶点对(x, y)是无序的，顶点对(x,y)称为顶点x和顶点y相关联的一条边，这条边没有特定方向，(x, y)和(y，x)是同一条边，

完全图：在有n个顶点的无向图中，若有n * (n-1)/2条边，即任意两个顶点之间有且仅有一条边，则称此图为无向完全图，比如上图G1；在n个顶点的有向图中，若有n * (n-1)条边，即任意两个顶点之间有且仅有方向相反的边，则称此图为有向完全图

邻接顶点：在无向图中G中，若(u, v)是E(G)中的一条边，则称u和v互为邻接顶点，并称边(u,v)依附于顶点u和v；在有向图 G中，若<u, v>是E(G)中的一条边，则称顶点u邻接到v，顶点v邻接自顶点u，并称边<u, v>与顶点u和顶点v相关联。

顶点的度：顶点v的度是指与它相关联的边的条数，记作deg(v)。在有向图中，顶点的度等于该顶点的入度与出度之和，其中顶点v的入度是以v为终点的有向边的条数，记作indev(v);顶点v的出度是以v为起始点的有向边的条数，记作outdev(v)。因此：dev(v) = indev(v) + outdev(v)。注意：对于无向图，顶点的度等于该顶点的入度和出度，即dev(v) = indev(v) = outdev(v)。

路径：在图G = (V， E)中，若从顶点vi出发有一组边使其可到达顶点vj，则称顶点vi到顶点vj的顶点序列为从顶点vi到顶点vj的路径。一个点到另一个点的路径个数

路径长度：对于不带权的图，一条路径的路径长度是指该路径上的边的条数；对于带权的图，一条路径的路径长度是指该路径上各个边权值的总和。

简单路径与回路：若路径上各顶点v1，v2，v3，…，vm均不重复，则称这样的路径为简单路径。若路径上第一个顶点v1和最后一个顶点vm重合，则称这样的路径为回路或环

子图：设图G = {V, E}和图G1 = {V1，E1}，若V1属于V且E1属于E，则称G1是G的子图类似子树，我的顶点是你的部分顶点，我的边是你的部分边

（重要）连通图：在无向图中，若从顶点v1到顶点v2有路径，则称顶点v1与顶点v2是连通的。如果图中任意一对顶点都是连通的，则称此图为连通图。

（重要）强连通图：在有向图中，若在每一对顶点vi和vj之间都存在一条从vi到vj的路径，也存在一条从vj到vi的路径，则称此图是强连通图。

（重要）生成树：在无向图中，一个连通图的最小连通子图称作该图的生成树。有n个顶点的连通图的生成树有n个顶点和n-1条边用最少的边将其连接起来

代码实现

邻接矩阵

//邻接矩阵
namespace matrix
{


	//V:顶点 W:权值 Direction:有无向
	template<class V, class W, W MAX_W = INT_MAX, bool Direction = false>
	class Graph
	{
	public:
		//图的创建
		//1.IO输入--不方便测试，oj中更适合
		//2.图结构关系写到文件，读取文件
		//3.手动添加边
		Graph(const V* vertexs, size_t n)
		{
			_vertexs.reserve(n);
			for (size_t i = 0; i < n; ++i)
			{
				_vertexs.push_back(vertexs[i]);
				_indexmap[vertexs[i]] = i;
			}

			_matrix.resize(n);
			for (auto& e : _matrix)
			{
				e.resize(n, MAX_W);
			}

		}

		//寻找顶点下标
		size_t GetVertexIndex(const V& v)
		{
			auto it = _indexmap.find(v);
			if (it != _indexmap.end())
			{
				return it->second;
			}
			else {
				throw invalid_argument("顶点不存在");

				return -1;
			}
		}

		//添加边
		//src dst顶点 w权值
		void AddEdge(const V& src, const V& dst, const W& w)
		{
			size_t srci = GetVertexIndex(src);
			size_t dsti = GetVertexIndex(dst);

			_matrix[srci][dsti] = w;
			if (Direction == false)
			{
				_matrix[dsti][srci] = w;
			}

		}


		void Print()
		{
			for (int i = 0; i < _vertexs.size(); ++i)
			{
				cout << "[" << i << "]->" << _vertexs[i] << endl;
			}
			cout << endl;

			//矩阵
			cout << "  ";
			for (size_t i = 0; i < _vertexs.size(); ++i)
			{
				cout << i << " ";
			}
			cout << endl;
			for (size_t i = 0; i < _matrix.size(); ++i)
			{
				cout << i << " ";
				for (size_t j = 0; j < _matrix[i].size(); ++j)
				{
					if (_matrix[i][j] != MAX_W)
						cout << _matrix[i][j] << " ";
					else
						cout << "#" << " ";
				}
				cout << endl;
			}
			cout << endl;
		}


	private:
		vector<V> _vertexs;//顶点集合
		map<V, int> _indexmap;//顶点映射下标
		vector<vector<W>> _matrix;//邻接矩阵
	};


	void TestGraph()
	{
		Graph<char, int, INT_MAX, true> g("0123", 4);
		g.AddEdge('0', '1', 1);
		g.AddEdge('0', '3', 4);
		g.AddEdge('1', '3', 2);
		g.AddEdge('1', '2', 9);
		g.AddEdge('2', '3', 8);
		g.AddEdge('2', '1', 5);
		g.AddEdge('2', '0', 3);
		g.AddEdge('3', '2', 6);
		g.Print();
	}
}
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邻接表


//邻接表-出边表
namespace link_table
{
	template<class W>
	struct Edge
	{
		int _dsti;//目标点下标
		W _w;	  //权值
		Edge<W>* _next;

		Edge(int dsti,const W w)
			:_dsti(dsti)
			,_w(w)
			,_next(nullptr)
		{}
	};


	//V:顶点 W:权值 Direction:有无向
	template<class V, class W, bool Direction = false>
	class Graph
	{
		typedef Edge<W> Edge;

	public:
		Graph(const V* a, size_t n)
		{
			_vertexs.reserve(n);
			for (size_t i = 0; i < n; ++i)
			{
				_vertexs.push_back(a[i]);
				_indexmap[a[i]] = i;
			}

			_tables.resize(n,nullptr);

		}

		//寻找顶点下标
		size_t GetVertexIndex(const V& v)
		{
			auto it = _indexmap.find(v);
			if (it != _indexmap.end())
			{
				return it->second;
			}
			else {
				throw invalid_argument("顶点不存在");

				return -1;
			}
		}

		//添加边
		//src dst顶点 w权值
		void AddEdge(const V& src, const V& dst, const W& w)
		{
			size_t srci = GetVertexIndex(src);
			size_t dsti = GetVertexIndex(dst);

			//a->b
			Edge *eg = new Edge(dsti,w);
			eg->_next = _tables[srci];
			_tables[srci] = eg;

			//b->a
			if (Direction == false)
			{
				Edge* eg = new Edge(srci, w);
				eg->_next = _tables[dsti];
				_tables[dsti] = eg;
			}
		}


		void Print()
		{
			for (int i = 0; i < _vertexs.size(); ++i)
			{
				cout << "[" << i << "]->" << _vertexs[i] << endl;
			}
			cout << endl;

			for (int i = 0; i < _tables.size(); ++i)
			{
				cout << _vertexs[i] << "[" << i << "]->";
				Edge* cur = _tables[i];
				while (cur)
				{
					cout << _vertexs[cur->_dsti] << ":[" << cur->_dsti << "]:"<<cur->_w<<"->";
					cur = cur->_next;
				}
				cout << "nullptr" << endl;
			}
			
		}


	private:
		vector<V> _vertexs;   //顶点集合
		map<V, int> _indexmap;//顶点映射下标
		vector<Edge*> _tables;//邻接表
	};

	void TestGraph()
	{
		string a[] = { "张三", "李四", "王五", "赵六" };
		Graph<string, int> g1(a, 4);
		g1.AddEdge("张三", "李四", 100);
		g1.AddEdge("张三", "王五", 200);
		g1.AddEdge("王五", "赵六", 30);
		g1.Print();
	}

}
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图的遍历

针对的是图的顶点

广度优先遍历bfs

在这里插入图片描述

进行测试

在这里插入图片描述

		void BFS(const V& src)
		{
			int srci = GetVertexIndex(src);
			//队列和标记数组

			queue<int> q;
			vector<bool> visited(_vertexs.size(), false);

			q.push(srci);
			visited[srci] = true;

			while (!q.empty())
			{
				int front = q.front();
				q.pop();
				cout << front << ":" << _vertexs[front] << endl;;
				for (size_t i = 0; i < _vertexs.size(); ++i)
				{
					if (visited[i] == false && _matrix[front][i] != MAX_W)
					{
						visited[i] = true;
						q.push(i);
					}
				}
			}
		}
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	void Test()
	{
		string a[] = { "张三", "李四", "王五", "赵六", "周七" };
		Graph<string, int> g1(a, sizeof(a) / sizeof(string));
		g1.AddEdge("张三", "李四", 100);
		g1.AddEdge("张三", "王五", 200);
		g1.AddEdge("王五", "赵六", 30);
		g1.AddEdge("王五", "周七", 30);
		g1.Print();

		g1.BFS("张三");
		//g1.DFS("张三");
	}
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深度优先遍历dfs

在这里插入图片描述

进行测试

在这里插入图片描述

		void _DFS(int srci, vector<bool> visited)
		{
			cout << srci << ":" << _vertexs[srci] << endl;
			visited[srci] = true;

			for (size_t i = 0; i < visited.size(); i++)
			{
				if (_matrix[srci][i] != MAX_W && visited[i] == false)
					_DFS(i, visited);
			}
		}
		void DFS(const V& src) 
		{
			vector<bool> visited(_vertexs.size(), false);
			_DFS(GetVertexIndex(src), visited);
		}
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	void TestGraphDBFS()
	{
		//为了使得测试更加明显，将李四和王五的位置进行了调整
		string a[] = { "张三", "王五", "李四", "赵六", "周七" };
		Graph<string, int> g1(a, sizeof(a) / sizeof(string));
		g1.AddEdge("张三", "王五", 200);
		g1.AddEdge("张三", "李四", 100);
		g1.AddEdge("王五", "赵六", 30);
		g1.AddEdge("王五", "周七", 30);
		g1.Print();

		cout << "BFS" << endl;
		g1.BFS("张三");

		cout << "DFS" << endl;
		g1.DFS("张三");
	}
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矩阵不适合走深度和广度
原因：两个点是否相连不是很容易确定

最小生成树

引入
深度和广度遍历节点的时候
如果给的图不是连通图，那么以某个点为起点，就不能将其遍历完成，

概念回顾

概念

构成生成树的这些边加起来权值是最小的

连通图中的每一棵生成树，都是原图的一个极大无环子图，即：从其中删去任何一条边，生成树就不在连通；反之，在其中引入任何一条新边，都会形成一条回路。

若连通图由n个顶点组成，则其生成树必含n个顶点和n-1条边。因此构造最小生成树的准则有三条：
1. 只能使用图中权值最小的边来构造最小生成树
2. 只能使用恰好n-1条边来连接图中的n个顶点
3. 选用的n-1条边不能构成回路
构造最小生成树的方法：Kruskal算法和Prim算法。这两个算法都采用了逐步求解的贪心策略。
贪心算法：是指在问题求解时，总是做出当前看起来最好的选择。也就是说贪心算法做出的不是整体
最优的的选择，而是某种意义上的局部最优解。贪心算法不是对所有的问题都能得到整体最优解

Kruskal算法–克鲁斯卡尔算法

这样也是最终结果，即：最小生成树不唯一
判环-并查集

		W Kruskal(Self& minTree)
		{
			int n = _vertexs.size();
			minTree._vertexs = _vertexs;
			minTree._indexmap = _indexmap;
			minTree._matrix.resize(n);
			for (int i = 0; i < n; i++)
			{
				minTree._matrix[i].resize(n, MAX_W);
			}

			priority_queue<Edge,vector<Edge>,greater<Edge>> minq;
			for (int i = 0; i < n; i++)
			{
				for (int j = 0; j < n; j++)
				{
					if (i < j && _matrix[i][j] != MAX_W)
					{
						minq.push(Edge(i, j, _matrix[i][j]));
					}
				}
			}

			int size = 0;
			W totalW = W();
			//选出n-1条边
			UnionFindSet ufs(n);
			while (!minq.empty())
			{
				Edge Min = minq.top();
				minq.pop();

				if (!ufs.InSet(Min._srci, Min._dsti))
				{
					//cout << _vertexs[Min._srci] << "-" << _vertexs[Min._dsti] <<
						":" << _matrix[Min._srci][Min._dsti] << endl;
					minTree._AddEdge(Min._srci, Min._dsti,Min._w);
					ufs.Union(Min._srci, Min._dsti);
					++size;
					totalW += Min._w;
				}
				else {
					//cout << "构成环：";
					//cout << _vertexs[Min._srci] << "-" << _vertexs[Min._dsti] <<
						":" << _matrix[Min._srci][Min._dsti] << endl;
				}
			}
			if (size == n - 1)
			{
				return totalW;
			}
			else {
				return W();
			}
		}
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Prim算法–普利姆算法

在这里插入图片描述
优势：
选边的时候，不会构成环

W Prim(Self& minTree,const W& src)
		{
			size_t srci = GetVertexIndex(src);
			size_t n = _vertexs.size();
			minTree._vertexs = _vertexs;
			minTree._indexmap = _indexmap;
			minTree._matrix.resize(n);
			for (size_t i = 0; i < n; i++)
			{
				minTree._matrix[i].resize(n, MAX_W);
			}

			vector<bool> X(n,false);
			vector<bool> Y(n,true);
			X[srci] = true;
			Y[srci] = false;
			//X->Y集合中连接的边中选出最小的边
			priority_queue<Edge, vector<Edge>, greater<Edge>> minq;
			//将srci连接的边添加到队列中
			for (size_t i = 0; i < n; i++)
			{
				if (_matrix[srci][i] != MAX_W)
				{
					minq.push(Edge(srci, i, _matrix[srci][i]));
				}
			}

			size_t i = 0;
			W totalW = W();
			while (!minq.empty())
			{
				Edge min = minq.top();
				minq.pop();
				
				if(X[min._dsti])
				{
					cout << "构成环：";
					cout << _vertexs[min._srci] << "-" << _vertexs[min._dsti] << \
						":" << _matrix[min._srci][min._dsti] << endl;

				}
				else
				{
					minTree._AddEdge(min._srci, min._dsti, min._w);
					X[min._dsti] = true;
					Y[min._dsti] = false;
					++i;
					totalW += min._w;
					if (i == n)
						break;

					cout << _vertexs[min._srci] << "-" << _vertexs[min._dsti] << \
						":" << _matrix[min._srci][min._dsti] << endl;

					for (size_t i = 0; i < n; ++i)
					{
						if (_matrix[min._dsti][i] != MAX_W && X[i]==false)//X.count(i)统计X中i的个数
						{
							minq.push(Edge(min._dsti, i, _matrix[min._dsti][i]));
						}
					}
				}
				
			}
			if (i == n - 1)
			{
				return totalW;
			}
			else {
				return W();
			}
		}
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最短路径

最短路径问题：从在带权有向图 G中的某一顶点出发，找出一条通往另一顶点的最短路径，最短也就是沿路径各边的权值总和达到最小

单源最短路径–Dijkstra算法–迪克斯特拉算法

单源最短路径问题：给定一个图G = ( V ， E ) G=(V，E)G=(V，E)，求源结点s ∈ V s∈Vs∈V到图中每个结点v ∈ V v∈Vv∈V的最短路径。Dijkstra算法就适用于解决带权重的有向图上的单源最短路径问题 ，同时算法要求图中所有边的权重非负。一般在求解最短路径的时候都是已知一个起点和一个终点，所以使用Dijkstra算法求解过后也就得到了所需起点到终点的最短路径。

Dijkstra算法存在的问题是不支持图中带负权路径，如果带有负权路径，则可能会找不到一些路径的最短路径。

个人思路：

时间复杂度：O(N^2)
空间复杂度：O(N)

代码

		void PrintShortPath(const V& src, const vector<W>& dist, const vector<int>& pPath)
		{
			size_t srci = GetVertexIndex(src);
			size_t n = _vertexs.size();
			for (size_t i = 0; i < n; ++i)
			{
				if (i != srci)
				{
					// 找出i顶点的路径
					vector<int> path;
					size_t parenti = i;
					while (parenti != srci)
					{
						path.push_back(parenti);
						parenti = pPath[parenti];
					}
					path.push_back(srci);
					reverse(path.begin(), path.end());

					for (auto index : path)
					{
						cout << _vertexs[index] << "->";
					}
					cout << dist[i] << endl;
				}
			}
		}

		void Dijkstra(const V& src, vector<W>& dist, vector<int>& pPath)
		{
			size_t srci = GetVertexIndex(src);
			size_t n = _vertexs.size();
			dist.resize(n, MAX_W);
			pPath.resize(n, -1);

			dist[srci] = 0;
			pPath[srci] = srci;

			// 已经确定最短路径的顶点集合
			vector<bool> S(n, false);

			for (size_t j = 0; j < n; ++j)
			{
				// 选最短路径顶点且不在S更新其他路径
				int u = 0;
				W min = MAX_W;
				for (size_t i = 0; i < n; ++i)
				{
					if (S[i] == false && dist[i] < min)
					{
						u = i;
						min = dist[i];
					}
				}

				S[u] = true;
				// 松弛更新u连接顶点v  srci->u + u->v <  srci->v  更新
				for (size_t v = 0; v < n; ++v)
				{
					if (S[v] == false && _matrix[u][v] != MAX_W
						&& dist[u] + _matrix[u][v] < dist[v])
					{
						dist[v] = dist[u] + _matrix[u][v];
						pPath[v] = u;
					}
				}
			}
		}
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void TestGraphDijkstra()
	{
		//const char* str = "syztx";
		//Graph<char, int, INT_MAX, true> g(str, strlen(str));
		//g.AddEdge('s', 't', 10);
		//g.AddEdge('s', 'y', 5);
		//g.AddEdge('y', 't', 3);
		//g.AddEdge('y', 'x', 9);
		//g.AddEdge('y', 'z', 2);
		//g.AddEdge('z', 's', 7);
		//g.AddEdge('z', 'x', 6);
		//g.AddEdge('t', 'y', 2);
		//g.AddEdge('t', 'x', 1);
		//g.AddEdge('x', 'z', 4);

		//vector<int> dist;
		//vector<int> parentPath;
		//g.Dijkstra('s', dist, parentPath);
		//g.PrintShortPath('s', dist, parentPath);

		const char* str = "sytx";
		Graph<char, int, INT_MAX, true> g(str, strlen(str));
		g.AddEdge('s', 't', 10);
		g.AddEdge('s', 'y', 5);
		g.AddEdge('t', 'y', -7);
		g.AddEdge('y', 'x', 3);
		vector<int> dist;
		vector<int> parentPath;
		g.Dijkstra('s', dist, parentPath);
		g.PrintShortPath('s', dist, parentPath);

		//s->y->5
		//s->t->10
		//s->y->x->8
	}
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单源最短路径–Bellman-Ford算法–贝尔曼福特算法

Dijkstra算法只能用来解决正权图的单源最短路径问题，但有些题目会出现负权图。这时这个算法就不能帮助我们解决问题了，而bellman—ford算法可以解决负权图的单源最短路径问题。它的优点是可以解决有负权边的单源最短路径问题，而且可以用来判断是否有负权回路。它也有明显的缺点，它的时间复杂度 O(N*E) (N是点数，E是边数)普遍是要高于Dijkstra算法O(N²)的。像这里如果我们使用邻接矩阵实现，那么遍历所有边的数量的时间复杂度就是O(N^3)，这里也可以看出来Bellman-Ford就是一种暴力求解更新
在这里插入图片描述

时间复杂度：O(N^3)
空间复杂度：O(N)

缺陷：带负权回路的不能计算

代码

bool BellmanFord(const V& src, vector<W>& dist, vector<int>& pPath)
		{
			size_t n = _vertexs.size();
			size_t srci = GetVertexIndex(src);

			// vector<W> dist,记录srci-其他顶点最短路径权值数组
			dist.resize(n, MAX_W);
			// vector<int> pPath 记录srci-其他顶点最短路径父顶点数组
			pPath.resize(n, -1);
			// 先更新srci->srci为缺省值
			dist[srci] = W();

			//cout << "更新边：i->j" << endl;

			// 总体最多更新n轮
			for (size_t k = 0; k < n; ++k)
			{
				// i->j 更新松弛
				bool update = false;
				cout << "更新第:" << k << "轮" << endl;
				for (size_t i = 0; i < n; ++i)
				{
					for (size_t j = 0; j < n; ++j)
					{
						// srci -> i + i ->j
						if (_matrix[i][j] != MAX_W && dist[i] + _matrix[i][j] < dist[j])
						{
							update = true;
							cout << _vertexs[i] << "->" << _vertexs[j] << ":" << _matrix[i][j] << endl;
					 		dist[j] = dist[i] + _matrix[i][j];
							pPath[j] = i;
						}
					}
				}

				// 如果这个轮次中没有更新出更短路径，那么后续轮次就不需要再走了
				if (update == false)
				{
					break;
				}
			}


			// 还能更新就是带负权回路
			for (size_t i = 0; i < n; ++i)
			{
				for (size_t j = 0; j < n; ++j)
				{
					// srci -> i + i ->j
					if (_matrix[i][j] != MAX_W && dist[i] + _matrix[i][j] < dist[j])
					{
						return false;
					}
				}
			}

			return true;
		}
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	void TestGraphBellmanFord()
	{
		const char* str = "syztx";
		Graph<char, int, INT_MAX, true> g(str, strlen(str));
		g.AddEdge('s', 't', 6);
		g.AddEdge('s', 'y', 7);
		g.AddEdge('y', 'z', 9);
		g.AddEdge('y', 'x', -3);
		g.AddEdge('z', 's', 2);
		g.AddEdge('z', 'x', 7);
		g.AddEdge('t', 'x', 5);
		g.AddEdge('t', 'y', 8);
		g.AddEdge('t', 'z', -4);
		g.AddEdge('x', 't', -2);
		vector<int> dist;
		vector<int> parentPath;
		
		if (g.BellmanFord('s', dist, parentPath))
		{
			cout << endl;
			g.PrintShortPath('s', dist, parentPath);
		}
		else
		{
			cout << "存在负权回路" << endl;
		}
	}
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		// 微调图结构，带有负权回路的测试
		const char* str = "syztx";
		Graph<char, int, INT_MAX, true> g(str, strlen(str));
		g.AddEdge('s', 't', 6);
		g.AddEdge('s', 'y', 7);
		g.AddEdge('y', 'x', -3);
		g.AddEdge('y', 'z', 9);
		g.AddEdge('y', 'x', -3);
		g.AddEdge('y', 's', 1); // 新增
		g.AddEdge('z', 's', 2);
		g.AddEdge('z', 'x', 7);
		g.AddEdge('t', 'x', 5);
		g.AddEdge('t', 'y', -8); // 更改
		g.AddEdge('t', 'z', -4);
		g.AddEdge('x', 't', -2);
		vector<int> dist;
		vector<int> parentPath;
		if (g.BellmanFord('s', dist, parentPath))
		{
			g.PrintShortPath('s', dist, parentPath);
		}
		else
		{
			cout << "存在负权回路" << endl;
		}
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多源最短路径–Floyd-Warshall算法-弗洛伊德算法

图中任意两点之间的最短路径问题

代码

		void FloydWarshall(vector<vector<W>>& vvDist, vector<vector<int>>& vvpPath)
		{
			size_t n = _vertexs.size();
			vvDist.resize(n);
			vvpPath.resize(n);

			// 初始化权值和路径矩阵
			for (size_t i = 0; i < n; ++i)
			{
				vvDist[i].resize(n, MAX_W);
				vvpPath[i].resize(n, -1);
			}

			// 直接相连的边更新一下
			for (size_t i = 0; i < n; ++i)
			{
				for (size_t j = 0; j < n; ++j)
				{
					if (_matrix[i][j] != MAX_W)
					{
						vvDist[i][j] = _matrix[i][j];
						vvpPath[i][j] = i;
					}

					if (i == j)
					{
						vvDist[i][j] = W();
					}
				}
			}

			// 最短路径的更新i-> {其他顶点} ->j
			for (size_t k = 0; k < n; ++k)
			{
				for (size_t i = 0; i < n; ++i)
				{
					for (size_t j = 0; j < n; ++j)
					{
						// k 作为的中间点尝试去更新i->j的路径
						if (vvDist[i][k] != MAX_W && vvDist[k][j] != MAX_W
							&& vvDist[i][k] + vvDist[k][j] < vvDist[i][j])
						{
							vvDist[i][j] = vvDist[i][k] + vvDist[k][j];
							vvpPath[i][j] = vvpPath[k][j];
						}
					}
				}

				// 打印权值和路径矩阵观察数据
				for (size_t i = 0; i < n; ++i)
				{
					for (size_t j = 0; j < n; ++j)
					{
						if (vvDist[i][j] == MAX_W)
							printf("%3c", '*');
						else
							printf("%3d", vvDist[i][j]);
					}
					cout << endl;
				}
				cout << endl;
				for (size_t i = 0; i < n; ++i)
				{
					for (size_t j = 0; j < n; ++j)
						printf("%3d", vvpPath[i][j]);
					cout << endl;
				}
				cout << "=================================" << endl;
			}
		}
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	void TestFloydWarShall()
	{
		const char* str = "12345";
		Graph<char, int, INT_MAX, true> g(str, strlen(str));
		g.AddEdge('1', '2', 3);
		g.AddEdge('1', '3', 8);
		g.AddEdge('1', '5', -4);
		g.AddEdge('2', '4', 1);
		g.AddEdge('2', '5', 7);
		g.AddEdge('3', '2', 4);
		g.AddEdge('4', '1', 2);
		g.AddEdge('4', '3', -5);
		g.AddEdge('5', '4', 6);
		vector<vector<int>> vvDist;
		vector<vector<int>> vvParentPath;
		g.FloydWarshall(vvDist, vvParentPath);
		// 打印任意两点之间的最短路径
		for (size_t i = 0; i < strlen(str); ++i)
		{
			g.PrintShortPath(str[i], vvDist[i], vvParentPath[i]);
			cout << endl;
		}
	}
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高阶数据结构学习之图_图论 高阶关系

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引入

图的存储结构

邻接矩阵

邻接表

概念

代码实现

邻接矩阵

邻接表

图的遍历

广度优先遍历bfs

进行测试

深度优先遍历dfs

进行测试

最小生成树

概念回顾

概念

Kruskal算法–克鲁斯卡尔算法

Prim算法–普利姆算法

最短路径

单源最短路径–Dijkstra算法–迪克斯特拉算法

代码

单源最短路径–Bellman-Ford算法–贝尔曼福特算法

代码

多源最短路径–Floyd-Warshall算法-弗洛伊德算法

代码

高阶数据结构学习之图_图论高阶关系