有向三元环 count【竞赛图三元环最大数+最小费用最大流】_,你要给每条边定一个方向,使得得到的有向完全图的三元环个数最多。

题目链接 UMS Online Judge IPC14

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  题意：给定一个竞赛图的子图，求原图有向三元环数的最大值。

  有些边是不确定方向的，我们需要给这些边定向来使得三元环的数目最多，总所周知，由三个点的竞赛图组成的三元环，每个点的入度都应该为1，这样才可以组成一个三元环，如果有N个点的竞赛图，那么最多最多就是$C(N, 3)$个三元环。

  那么，我们不妨减去最少的不可行三元环数，来确定最大可能三元环数。

  怎样的三元环是不可行的？上面也有说到，如果一个点的入度、或者是出度等于2的时候，这个点就可以代表一个不可行的三元环点集了，这里我们用入度来解决。

  那么，对于一个点u，它的入度是du[u]，那么它对应的不可行的三元环点集数目有$C(du[u], 2)$个。我们用u点代表的不可行三元环的个数就可以确定了，然后呢，有些边是不确定方向边，就会使得入度+1，甚至“+x”，那么，我们可以用一个费用流来解决这个问题，目的就是为了需要减去的权值最小。

  这可以用最小费用最大流的费用递增模型解决。记网络的源点为S，汇点为T，不确定的边对应一个点， 原图中的每个点对应一个点: S→不确定的边点，容量1，费用0，表示这条边选择一种方向; 不确定的 边点→边的端点，容量1，费用0，表示这条边指向点的不同方案; 原图中点→T，容量1，费用d、 d+1、......:费用递增，表示这个点度数每增加1对答案的贡献。 对上述网络进行最小费用最大流计算， 用所有点集数减不符合条件点集数即可得到答案。

4
0 1 0 2
0 0 2 1
1 2 0 0
2 0 1 0
ans:2

6
0 1 2 1 0 2
0 0 2 2 1 0
2 2 0 0 1 0
0 2 1 0 0 0
1 0 0 1 0 1
2 1 1 1 0 0
ans:8

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <string>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <limits>
#include <vector>
#include <stack>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
#include <bitset>
//#include <unordered_map>
//#include <unordered_set>
#define lowbit(x) ( x&(-x) )
#define pi 3.141592653589793
#define e 2.718281828459045
#define INF 0x3f3f3f3f
#define eps 1e-8
#define HalF (l + r)>>1
#define lsn rt<<1
#define rsn rt<<1|1
#define Lson lsn, l, mid
#define Rson rsn, mid+1, r
#define QL Lson, ql, qr
#define QR Rson, ql, qr
#define myself rt, l, r
#define MP(a, b) make_pair(a, b)
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
typedef unsigned int uit;
typedef long long ll;
const int maxN = 1e2 + 7, maxM = 1e5 + 7, maxP = maxN * maxN + maxN;
inline int Calc(int x) { return x * (x - 1) / 2; }
int N, mp[maxN][maxN], du[maxN] = {0}, posb[maxN] = {0}, len, head[maxP], cnt;
struct Graph
{
    int u, v, id;
    Graph(int a=0, int b=0, int c=0):u(a), v(b), id(c) {}
};
vector<Graph> vt;
struct Eddge
{
    int nex, u, v, flow, cost;
    Eddge(int a=0, int b=0, int c=0, int d=0, int f=0):nex(a), u(b), v(c), flow(d), cost(f) {}
}edge[maxM];
inline void addEddge(int u, int v, int flow, int cost)
{
    edge[cnt] = Eddge(head[u], u, v, flow, cost);
    head[u] = cnt++;
}
inline void _add(int u, int v, int flow, int cost) { addEddge(u, v, flow, cost); addEddge(v, u, 0, -cost); }
struct MaxFlow_MinCost
{
    int pre[maxP], S, T; int Flow[maxP], dist[maxP];
    queue<int> Q;
    bool inque[maxP];
    inline bool spfa()
    {
        for(int i=0; i<=T; i++) { pre[i] = -1; dist[i] = INF; inque[i] = false; }
        while(!Q.empty()) Q.pop();
        Q.push(S); dist[S] = 0; inque[S] = true; Flow[S] = INF;
        while(!Q.empty())
        {
            int u = Q.front(); Q.pop(); inque[u] = false;
            for(int i=head[u], v, f, w; ~i; i=edge[i].nex)
            {
                v = edge[i].v; f = edge[i].flow; w = edge[i].cost;
                if(f && dist[v] > dist[u] + w)
                {
                    dist[v] = dist[u] + w;
                    Flow[v] = min(Flow[u], f);
                    pre[v] = i;
                    if(!inque[v])
                    {
                        inque[v] = true;
                        Q.push(v);
                    }
                }
            }
        }
        return ~pre[T];
    }
    inline int EK()
    {
        int sum_Cost = 0;
        while(spfa())
        {
            int now = T, las = pre[now];
            while(now ^ S)
            {
                edge[las].flow -= Flow[T];
                edge[las ^ 1].flow += Flow[T];
                now = edge[las].u;
                las = pre[now];
            }
            sum_Cost += dist[T] * Flow[T];
        }
        return sum_Cost;
    }
} MF;
int main()
{
    scanf("%d", &N); len = 0;
    for(int i=1; i<=N; i++)
    {
        for(int j=1; j<=N; j++) scanf("%d", &mp[i][j]);
    }
    for(int i=1; i<=N; i++) for(int j=1; j<=N; j++)
    {
        if(i == j) continue;
        if(mp[i][j] == 1) du[j]++;
        if(mp[i][j] == 2 && i < j)
        {
            len++; posb[i]++; posb[j]++;
            vt.push_back(Graph(i, j, len));
        }
    }
    MF.S = len + N + 1; MF.T = len + N + 2; cnt = 0;
    for(int i=0; i<=MF.T; i++) head[i] = -1;
    int need_del = 0;
    for(int i=1; i<=N; i++)
    {
        need_del += Calc(du[i]);
        for(int j=1; j<=posb[i]; j++)
        {
            _add(len + i, MF.T, 1, Calc(du[i] + j) - Calc(du[i] + j - 1));
        }
    }
    for(int i=0, u, v; i<len; i++)
    {
        _add(MF.S, vt[i].id, 1, 0);
        u = vt[i].u; v = vt[i].v;
        _add(vt[i].id, len + u, 1, 0);
        _add(vt[i].id, len + v, 1, 0);
    }
    int Min_Cost = MF.EK();
    int ans = N * (N - 1) * (N - 2) / 6 - Min_Cost - need_del;
    if(N <= 2) ans = 0;
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}