辗转相除为什么能得到最大公因式？高等代数1.2_辗转相除法求最大公因式

我们来继续探索两个多项式之间的关系，今天的研究对象是最大公因式。

一)最大公因式

因式：g(x)|f(x),则f(x)=h(x)*g(x)，g(x)是f(x)的因式。

倍式：f(x)是g(x)的倍式。

最大公因式的定义如下图。

最大公因式从字面上就可以理解了，一是公因式，二是要最大的那一些，至于为什么是一些不是一个，因为公因式系数的原因，俩多项式的一个公因式的k倍仍然是他们的最大公因式(k不等于0）。

这个概念很容易理解，但我们还需要用数学语言表达，用数学语言表达会使我们能更加简介准确，以及在数学这个概念系统中解决更多问题。

二）辗转相除求最大公因式

先不提辗转相除，我们来复习一下昨天学的东西。

相信大家已经琢磨会了，不会的请在评论区留言哦！

辗转相除的引理：

先不提这个引理对不对，我们在知道他们具有相同的公因式之后我们会怎么想？没错，让我们来求f与g的最大公因式的问题就可以转化为求g和r最大公因式的问题。因为任意两个多项式都可以写成上式引理的形式，那g和r的最大公因式也可以继续转化，g=q1r+r1。一直在转化，而他们的因式始终是同一组。转化为怎么样的形式才是个头？自然是转化到引理形式中不存在余项rn的时候。为什么要这样转化？因为这样转化，使用的是带余除法，会使余项r的次数不断减少，当次数减少到0，即不含x的时候，余项要么是0要么是非零常数，如果是0，就是下图最后一行式子的形式，即整除形式，他们的公因式就是qk+1(x)，这也是他们的最大公因式。如果是非零常数，那最大公因式为1。

我们的上述想法即为辗转相除法。

所以我们的关键问题只剩下一个——这个引理对不对？为什么？

在辗转相除之前，我们复习了昨天整除的那个性质。我们就是用那个来证明的。我再发一遍对照证明过程看一下：

注意，证明的第二行里f(x)你可以认为他成了一个常数1，这就是性质上的形式。如果同理可得看不明白，下面是省略的部分。

我们用(f(x),g(x))表示这两个多项式的首一最大公因式。（即首相系数为1的最大公因式）

下面是辗转相除的一个例题。

继续讲篇幅有些长，我们留着下一篇继续讲互素。关注公众号下一篇更精彩哦！River期待你的关注！

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