二分查找算法详解_链表二分法查找

1.什么是二分查找

二分查找针对的是一个有序的数据集合，查找思想有点类似分治思想。每次都通过跟区间的中间元素对比，将待查找的区间缩小为之前的一半，直到找到要查找的元素，或者区间被缩小为 0。

二分查找是一种非常高效的查找算法，高效到什么程度呢？我们来分析一下它的时间复杂度。

我们假设数据大小是 n，每次查找后数据都会缩小为原来的一半，也就是会除以 2。最坏情况下，直到查找区间被缩小为空，才停止。

可以看出来，这是一个等比数列。其中 n/2k=1 时，k 的值就是总共缩小的次数。而每一次缩小操作只涉及两个数据的大小比较，所以，经过了 k 次区间缩小操作，时间复杂度就是 O(k)。通过 n/2k=1，我们可以求得 k=log2n，所以时间复杂度就是 O(logn)。

2.二分查找应用场景的局限性

二分查找的时间复杂度是 O(logn)，查找数据的效率非常高。不过，并不是什么情况下都可以用二分查找，它的应用场景是有很大局限性的。那什么情况下适合用二分查找，什么情况下不适合呢？

首先，二分查找依赖的是顺序表结构，简单点说就是数组。

那二分查找能否依赖其他数据结构呢？比如链表。答案是不可以的，主要原因是二分查找算法需要按照下标随机访问元素。数组按照下标随机访问数据的时间复杂度是 O(1)，而链表随机访问的时间复杂度是 O(n)。所以，如果数据使用链表存储，二分查找的时间复杂就会变得很高。

二分查找只能用在数据是通过顺序表来存储的数据结构上。如果你的数据是通过其他数据结构存储的，则无法应用二分查找。

其次，二分查找针对的是有序数据。

二分查找对这一点的要求比较苛刻，数据必须是有序的。如果数据没有序，我们需要先排序。前面章节里我们讲到，排序的时间复杂度最低是 O(nlogn)。所以，如果我们针对的是一组静态的数据，没有频繁地插入、删除，我们可以进行一次排序，多次二分查找。这样排序的成本可被均摊，二分查找的边际成本就会比较低。

但是，如果我们的数据集合有频繁的插入和删除操作，要想用二分查找，要么每次插入、删除操作之后保证数据仍然有序，要么在每次二分查找之前都先进行排序。针对这种动态数据集合，无论哪种方法，维护有序的成本都是很高的。

所以，二分查找只能用在插入、删除操作不频繁，一次排序多次查找的场景中。针对动态变化的数据集合，二分查找将不再适用。那针对动态数据集合，如何在其中快速查找某个数据呢？别急，等到二叉树那一节我会详细讲。

再次，数据量太小不适合二分查找。

如果要处理的数据量很小，完全没有必要用二分查找，顺序遍历就足够了。比如我们在一个大小为 10 的数组中查找一个元素，不管用二分查找还是顺序遍历，查找速度都差不多。只有数据量比较大的时候，二分查找的优势才会比较明显。

不过，这里有一个例外。如果数据之间的比较操作非常耗时，不管数据量大小，我都推荐使用二分查找。比如，数组中存储的都是长度超过 300 的字符串，如此长的两个字符串之间比对大小，就会非常耗时。我们需要尽可能地减少比较次数，而比较次数的减少会大大提高性能，这个时候二分查找就比顺序遍历更有优势。

最后，数据量太大也不适合二分查找。

二分查找的底层需要依赖数组这种数据结构，而数组为了支持随机访问的特性，要求内存空间连续，对内存的要求比较苛刻。比如，我们有 1GB 大小的数据，如果希望用数组来存储，那就需要 1GB 的连续内存空间。

注意这里的“连续”二字，也就是说，即便有 2GB 的内存空间剩余，但是如果这剩余的 2GB 内存空间都是零散的，没有连续的 1GB 大小的内存空间，那照样无法申请一个 1GB 大小的数组。而我们的二分查找是作用在数组这种数据结构之上的，所以太大的数据用数组存储就比较吃力了，也就不能用二分查找了。

3.二分查找的几个经典案例的代码实现

寻找第一个值等于给定值的元素

    public int bSearchV1(int[] arr, int n, int value) {
        int low = 0;
        int high = n - 1;
        while (low <= high) {
            //这里没有用mid=(low+high)/2 是为了防止low+high过大造成数据溢出
            //踩坑点：位运算的优先级低于四则运算，如果要用，需要加上大括号
            int mid = low + ((high - low) >> 1);
            if (arr[mid] > value) {
                high = mid - 1;
            } else if (arr[mid] < value) {
                low = mid + 1;
            } else {
                if (mid == 0 || arr[mid - 1] != value) {
                    return mid;
                } else {
                    high = mid - 1;
                }
            }
        }

我们分析一下第一个案例的代码：

arr[mid]跟要查找的 value 的大小关系有三种情况：大于、小于、等于。对于 arr[mid]>value 的情况，我们需要更新 high= mid-1；对于 a[mid]<value 的情况，我们需要更新 low=mid+1。这两点都很好理解。那当 arr[mid]=value 的时候应该如何处理呢？

如果我们查找的是任意一个值等于给定值的元素，当 a[mid]等于要查找的值时，arr[mid]就是我们要找的元素。但是，如果我们求解的是第一个值等于给定值的元素，当 a[mid]等于要查找的值时，我们就需要确认一下这个 a[mid]是不是第一个值等于给定值的元素。

如果 mid 等于 0，那这个元素已经是数组的第一个元素，那它肯定是我们要找的；如果 mid 不等于 0，但 arr[mid]的前一个元素 arr[mid-1]不等于 value，那也说明 a[mid]就是我们要找的第一个值等于给定值的元素。

如果经过检查之后发现 arr[mid]前面的一个元素 arr[mid-1]也等于 value，那说明此时的 arr[mid]肯定不是我们要查找的第一个值等于给定值的元素。那我们就更新 high=mid-1，因为要找的元素肯定出现在[low, mid-1]之间。

寻找最后一个值等于给定值的元素

    public int bSearchV2(int[] arr, int n, int value) {
        int low = 0;
        int high = n - 1;
        while (low <= high) {
            int mid = low + ((high - low) >> 1);
            if (arr[mid] > value) {
                high = mid - 1;
            } else if (arr[mid] < value) {
                low = mid + 1;
            } else {
                if (mid == n - 1 || arr[mid + 1] != value) {
                    return mid;
                } else {
                    low = mid + 1;
                }
            }
        }
        return -1;
    }

寻找第一个大于等于给定值的元素

    //寻找第一个大于等于给定值的元素
    public int bSearchV3(int[] arr, int n, int value) {
        int low = 0;
        int high = n - 1;
        while (low <= high) {
            int mid = low + ((high - low) >> 1);
            if (arr[mid] < value) {
                low = mid + 1;
            } else {
                if (mid == 0 || arr[mid - 1] <= value) {
                    return mid;
                } else {
                    high = mid - 1;
                }
            }
        }
        return -1;
    }

寻找最后一个小于等于给定值的元素

    public int bSearchV4(int[] arr, int n, int value) {
        int low = 0;
        int high = n - 1;
        while (low <= high) {
            int mid = low + ((high - low) >> 1);
            if (arr[mid] >= value) {
                high = mid - 1;
            } else {
                if (mid == n - 1 || arr[mid + 1] > value) {
                    return mid;
                } else {
                    low = mid + 1;
                }
            }
        }
        return -1;
    }