使用二阶微分锐化图像（拉普拉斯算子）基本原理及Python实现

1. 拉普拉斯算子

1.1 简介

一种典型的各向同性的微分算子，可用于检测图像中灰度图片的区域

$$\nabla^{2} f=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}$$

根据上述的差分近似可以推导出

$$\nabla^{2} f(x, y)=f(x+1, y)+f(x-1, y)+f(x, y+1)+f(x, y-1)-4 f(x, y)$$

1.2 锐化过程

1. 使用拉普拉斯过滤器得到图像中灰度突变的区域$\nabla^{2} f(x, y)$
2. 使用原图像加上$\nabla^{2} f(x, y)$，如下

$$g(x, y)=f(x, y)+c\left[\nabla^{2} f(x, y)\right]$$

• 其中c为可变参数

2. 测试

 图源自skimage

3. 代码

import numpy as np

 3 
def laplace_sharpen(input_image, c):
    '''
    拉普拉斯锐化
    :param input_image: 输入图像
    :param c: 锐化系数
    :return: 输出图像
    '''
    input_image_cp = np.copy(input_image)  # 输入图像的副本

    # 拉普拉斯滤波器
    laplace_filter = np.array([
        [1, 1, 1],
        [1, -8, 1],
        [1, 1, 1],
    ])

    input_image_cp = np.pad(input_image_cp, (1, 1), mode='constant', constant_values=0)  # 填充输入图像

    m, n = input_image_cp.shape  # 填充后的输入图像的尺寸

    output_image = np.copy(input_image_cp)  # 输出图像

    for i in range(1, m - 1):
        for j in range(1, n - 1):
            R = np.sum(laplace_filter * input_image_cp[i - 1:i + 2, j - 1:j + 2])  # 拉普拉斯滤波器响应

            output_image[i, j] = input_image_cp[i, j] + c * R

    output_image = output_image[1:m - 1, 1:n - 1]  # 裁剪

    return output_image