线性代数之特征值和特征向量_求特征值和特征向量的例题及答案

作者：菜鸟追梦旅行 | 2024-02-12 17:16:21

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求特征值和特征向量的例题及答案

定义:A为n阶方阵,才有特征值和特征向量,存在非零列向量α,使得 Aα = $\lambda$ α 成立

$\lambda$ 为特征值, α为对应 $\lambda$ 的特征向量

$\lambda$ 可以为 0 ,α非零向量,并且

$A_{n*n}$ ,α只能是n*1的列向量 ,不是1*n行向量,这样矩阵乘法就不成立

Aα = $\lambda$ α --> $\lambda \alpha - A\alpha = 0 \rightarrow (\lambda E -A)\alpha = 0 \rightarrow \left | \lambda E -A \right | \neq 0$

例1 :矩阵A = $\left( \begin {aligned} -1 & \ & 1 & \ & \ {0} \\ -4 & \ & 3 & \ & \ { 0} \\ 1 & \ & 0 & \ & \ 2 \end{aligned} \right )$ ,求A的特征值和特征向量

$\left | \lambda E -A \right | =$ $\left( \begin {aligned} \lambda +1 & \ & -1 & \ & \ {0} \\ 4 & \ & \lambda -3 & \ & \ { 0} \\ -1 & \ & 0 & \ & \lambda - 2 \end{aligned} \right )$ 求这个行列式,按第三列展开

$(\lambda -2)(-1)^{3+3}\left| \begin {aligned} \lambda +1 & \ & -1 \\ 4 & \ & \lambda -3 \end{aligned} \right |$ = $\left ( \lambda -2 \right )\left ( \lambda -1 \right )\left ( \lambda -1 \right ) \rightarrow \lambda_{1} = \lambda_{2} =1 , \lambda_{3} =2$

当 $\lambda_{1} = \lambda_{2} =1$ ,带入 $\left | \lambda E -A \right | =$

$\left| \begin {aligned} 2 & \ & -1 & \ & \ {0} \\ 4 & \ & -2 & \ & \ { 0} \\ -1 & \ & 0 & \ & \ -1 \end{aligned} \right |$ -----行成行简化阶梯型--- $\left ( \right )$ ---求基础解析 $\eta_1 \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ -1 \end{pmatrix}$

当 $\lambda _{3} =2$ 时, $\left | \lambda E -A \right | =$

$\left| \begin {aligned} 3 & \ & -1 & \ & \ {0} \\ 4 & \ & 0 & \ & \ { 0} \\ -1 & \ & 0 & \ & \ 1 \end{aligned} \right |$ -----行成行简化阶梯型--- $\left ( \right )$ ---求基础解析 $\eta _2\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}\eta _2\neq 0$

其中 $\lambda$ 为特征值, $\eta$ 为对应特征向量

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