Python 实现图像快速傅里叶变换和离散余弦变换！_图像频域增强 python

作者：菜鸟追梦旅行 | 2024-02-12 18:24:11

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图像频域增强 python

图像的正交变换在数字图像的处理与分析中起着很重要的作用，被广泛应用于图像增强、去噪、压缩编码等众多领域。本文手工实现了 二维离散傅里叶变换 和 二维离散余弦变换 算法，并在多个图像样本上进行测试，以探究二者的变换效果。

1. 傅里叶变换

对一幅图像进行 离散傅里叶变换 （DFT），可以得到图像信号的傅里叶频谱。二维 DFT 的变换及逆变换公式如下：

DFT 尽管解决了频域离散化的问题，但运算量太大。从公式中可以看到，有两个嵌套的求和符号，显然直接计算的复杂度为 $O(n^2)$ 。为了加快傅里叶变换的运算速度，后人提出 快速傅里叶变换 （FFT），即蝶形算法，将计算 DFT 的复杂度降低到了 $O(n\log n)$ 。

FFT 利用傅里叶变换的数学性质，采用分治的思想，将一个 $N$ 点的 FFT，变成两个 $N/2$ 点的 FFT。以一维 FFT 为例，可以表示如下：

其中， $G(k)$ 是 $x(k)$ 的偶数点的 $N/2$ 点的 FFT， \

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