高数下-空间几何（一）-向量_高数向量

作者：菜鸟追梦旅行 | 2024-02-15 20:54:40

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高数向量

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一、向量的基本内容

向量即矢量，既有方向又有大小，比如物理量位移、速度、力

向量 $\vec{a}=\vec{b}$ 意味着：
$\vec{a}，\vec{b}$ 方向相同，大小相等

1.向量的大小

用向量的模表示
模等于1的向量为单位向量
模等于0的向量为零向量

2.向量的方向

可以用方向余弦表示，后面介绍

二、向量的运算

1.向量的加法

使用平行四边形法则或者三角形法则（首尾首尾相连）

2.向量的减法

指向被减数

3.数与向量之积

根据数是>0,=0,<0分为三种情况

三、向量的表示

1.空间直角坐标系

2.向量的表示

当表示在坐标轴时，可以用向量在三个坐标轴的投影分别表示

$\vec{a}=a_x\vec{i}+a_y\vec{j}+a_z\vec{k}$
好处：方便向量的加减法
$\vec{a}+\vec{b}=(a_x+b_x)\vec{i}+(a_y+b_y)\vec{j}+(a_z+b_z)\vec{k}$
$\lambda \vec{a}=(\lambda a_x)\vec{i}+(\lambda a_y)\vec{j}+(\lambda a_z)\vec{k}$

3.向量的模

$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$

4.方向角余弦

$\cos{\alpha}=\frac{x}{|r|}$
$\cos{\beta}=\frac{y}{|r|}$
$\cos{\gamma}=\frac{z}{|r|}$
$\cos{\alpha}^2+\cos{\beta}^2+\cos{\gamma}^2=1$

5.向量对坐标的投影

$x=|r|\cos{\alpha}$
$y=|r|\cos{\beta}$
$z=|r|\cos{\gamma}$

四、数量积与向量积

	数量积	向量积
名称	又名内积	又名外积
结果	计算结果为一个数	计算结果为一个向量
含义	$a\cdot b=\vert a\vert \vert b \vert \cos{\theta}$	大小： $\vert a \vert \vert b \vert \sin{\theta}$ 方向：右手定则注：方向是人为定义，用以区分旋转的方向，比如顺时针和逆时针拧螺丝的作用效果是不同的
物理含义	比如做功	比如拧螺丝的力矩
几何意义	向量a长度✖️向量b在a上的投影	大小为向量ab围成的平行四边形的面积
计算方法	$\cdot b =a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z$	$\| \begin{matrix} \vec{i} & a m p; \vec{j} & a m p; \vec{k} \\ a_{x} & a m p; a_{y} & a m p; a_{j} \\ b_{x} & a m p; b_{y} & a m p; b_{z} \end{matrix} \|$
常用公式	$\cdot b = b \cdot a$	$a\times a=0$ $a\times b = -b \times a$ 注：可以从动量矩的角度来理解记忆
几何应用	求模: $\vert a \vert =\sqrt{a \cdot a}$ 求夹角 $cos(\alpha)=\frac{a\cdot b}{\vert a \vert \vert b \vert}$ 判断两向量垂直: $a\cdot b=0$	求同时垂直于a和b的向量: $\vec{a} \times \vec{b}$ 求以a和b为边的平行四边形的面积: $S=\vert a\times b\vert$ 判定两向量平行: $a\times b=0$

混合积

公式: $(\bold{abc})=(\bold{a\times b)}\cdot \bold c$
代数表示:
$(\bold{abc})=$

| \begin{matrix} a_{x} & a m p; a_{y} & a m p; a_{z} \\ b_{x} & a m p; b_{y} & a m p; b_{z} \\ c_{x} & a m p; c_{y} & a m p; c_{z} \end{matrix} |

$\begin{vmatrix} a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\\c_x&c_y&c_z\end{vmatrix}$

(a b c) = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a_{x} b_{x} c_{x} a_{y} b_{y} c_{y} a_{z} b_{z} c_{z} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

几何含义：表示三个向量张成的平行六面体的体积 （可以从线性代数中行列式的几何含义来考虑）
几何应用：
计算平行六面体的体积
判定三向量共面:

a,b,c共面\iff (abc)=0

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