【通信原理】第二章 -- 确知信号_通信原理信号的平均功率

第二章 确知信号

确知信号的类型

• 确知信号： 其取指在任何时间都是确定和可预知的信号，通常可用数学公式表示他在任何时间的取值
  • 按照是否具有周期重复性，可分为周期信号和非周期信号
  • 按照能量是否有限区分，可分为能量信号和功率信号
• 用S代表信号的电流或电压计算信号功率，若信号电压和电流的值随时间变化，则S可以改写为时间t的函数S(t)，此时，信号能量E应当是信号瞬时功率的积分，其中E的单位是焦耳J
  $$E={\int }_{-\infty }^{\infty }{s}^2(t)dt$$
• 若能量的信号是一个正的有限值，则称此信号为能量信号，将信号的平均功率定义为
  $$P=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{s}^2(t)dt$$

两类信号的划分

1. 能量信号： 其能量等于一个有限正值，但平均功率为零
2. 功率信号： 其平均功率等于一个有限正值，但能量为无穷大

• 注意： 能量信号和功率信号的分类对于非确知信号也使用

确知信号的频域性质

• 频率特性，由各个频率分量的分布表示
• 信号的频率特性
  1. 功率信号的频谱
  2. 能量信号的频谱密度
  3. 能量信号的能量谱密度
  4. 功率信号的功率谱密度

功率信号的频谱

• 设一个周期性功率信号s(t)都周期为T₀，则将其频谱函数定义为
  $$C_n=C(n{f}_0)=\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}s(t)e^{-j2\pi n{f}_{0}t}dt$$
• 周期信号可以展开为如下傅里叶级数
  $$s(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{C}_n{e}^{\frac{j2\pi nt}{T_0}}$$
• 在数学上能将周期性函数展开成傅里叶级数的狄利克雷条件，一般信号都是能满足的
• n = 0时，
  $$C_0=\frac{1}{T_0}{\int }_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}s(t)dt$$
• 他是信号s(t)的时间平均值，即直流分量

能量信号的频谱密度

• 设一个能量信号为s(t)，则将它的傅里叶变换S(f)定义为它的频谱密度
  $$S(f)={\int }_{-\infty }^{\infty }s(t)e^{-j2\pi ft}dt$$
• 而S(f)的逆傅里叶变换就是原信号
  $$s(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }S(f)e^{j2\pi ft}df$$

重要结论

• 对于门函数(矩形)
  • S(f) = 面积·sinc(变量·宽度)
  • s(t) = 面积·sinc(变量·宽度)
• 三角形状的函数
  • S(f) = 面积·sinc²(变量·宽度/2)
  • s(t) = 面积·sinc²(变量·宽度/2)

能量信号的能量谱密度

• 设一个能量信号s(t)的能量为E，则此信号的能量为
  $$E={\int }_{-\infty }^{\infty }{s}^2(t)dt$$
• 若此信号的傅里叶变换(频谱密度)为S(f)，则由巴塞伐尔定理得
  $$E={\int }_{-\infty }^{\infty }{s}^2(t)dt={\int }_{-\infty }^{\infty }|S(f){|}^{2}df$$

功率信号的功率谱密度

• 由于功率信号有无穷大的能量，故首先将信号s(t)截短为长度等于T的一个截短信号s_T(t)，该截短信号就成为了一个能量信号
• 对于此能量信号，就可以使用傅里叶变换求出其能量谱密度|S_T(f)|²
• 由巴塞伐尔定理有
  $$E={\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{s}_T^2(t)dt={\int }_{-\infty }^{\infty }|S_T(f){|}^{2}df$$

$$\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}|S_T(f){|}^2$$

• 信号的功率谱密度P(f)
  $$P(f)=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}|S_T(f){|}^2$$
• 信号功率为
  $$P=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_{-\infty }^{\infty }|S_T(f){|}^{2}df={\int }_{-\infty }^{\infty }P(f)df$$

确知信号的时域性质

能量信号的自相关函数

• 能量信号s(t)的自相关函数定义为
  $$R(\tau )={\int }_{-\infty }^{\infty }s(t)s(t+\tau )dt-\infty <\tau <\infty$$
• 自相关函数反映了一个信号与延迟τ后的同一信号间的相关程度，自相关函数R(τ)和时间t无关，只和时间差τ有关，当τ = 0时，能量信号的自相关函数R(0)等于信号的能量，即
  $$R(0)={\int }_{-\infty }^{\infty }{s}^2(t)dt=E$$
• 其中，E为能量信号的能量
• R(τ)是τ的偶函数，R(τ) = R(-τ)

功率信号的自相关函数

• 功率信号s(t)的自相关函数定义为
  $$R(\tau )=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}s(t)s(t+\tau )dt-\infty <\tau <\infty$$
• 当τ = 0时，功率信号的自相关函数R(0)等于信号的平均功率，即
  $$R(0)=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{s}^2(t)dt=P$$
• 其中，P为信号的功率
• 对于周期性功率信号，自相关函数的定义可改写为
  $$R(\tau )=\frac{1}{T_0}{\int }_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}s(t)s(t+\tau )dt-\infty <\tau <\infty$$
• 周期性功率信号的自相关函数R(τ)和其功率谱密度P(f)之间是傅里叶变换关系，即P(f)的逆傅里叶变换是R(τ)，而R(τ)的傅里叶变换是功率谱密度，即
  $$P(f)={\int }_{-\infty }^{\infty }R(\tau )e^{-j2\pi f\tau }d\tau$$

能量信号的互相关函数

• 两个能量信号s₁(t)和s₂(t)的互相关函数的定义为
  $$R_{12}(\tau )={\int }_{-\infty }^{\infty }{s}_1(t)s_2(t+\tau )dt-\infty <\tau <\infty$$
• 互相关函数和时间t无关，只和时间差τ有关，互相关函数和两个信号相乘的前后次序有关
  $$R_{12}(\tau )=R_{21}(-\tau )$$

功率信号的互相关函数

• 两个功率信号s₁(t)和s₂(t)的互相关函数的定义为
  $$R_{12}(\tau )=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_{-\infty }^{\infty }{s}_1(t)s_2(t+\tau )dt-\infty <\tau <\infty$$
• 互相关函数和时间t无关，只和时间差τ有关，互相关函数和两个信号相乘的前后次序有关
  $$R_{12}(\tau )=R_{21}(-\tau )$$
• 若两个周期功率信号的周期相同，则其互相关函数的定义可以写成
  $$R_{12}(\tau )=\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{s}_1(t)s_2(t+\tau )dt-\infty <\tau <\infty$$