为什么一个矩阵乘以一个满秩矩阵后秩不变_一个满秩的矩阵乘以任一矩阵还满秩吗

作者：运维做开发 | 2024-08-21 22:12:06

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一个满秩的矩阵乘以任一矩阵还满秩吗

A为N阶方阵，r(A) =p ，其中p< n. B为N阶方阵，r(B)=n.
证明: r(AB) = p.

定理1：矩阵B可逆，则存在有限个初等矩阵 $P_1,P_2,P_3...P_n$ ,使得 $A=P_1P_2....P_n$

定理2：矩阵B满秩，则矩阵B可逆

定理3：进行初等行变换和初等列变换，不改变原有矩阵的秩

定理4：左乘一个初等矩阵，相当于进行一次初等行变换；右乘一个初等矩阵，相当于进行一次初等列变换。

则 $AB=A(P_1P_2....P_n)$ 相当于对A进行了N次，初等列变换，不改变矩阵A的秩。

那么因此 $r (A) = r (A B)$

那么同理， $r (A) = r (B A)$

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