移动机器人的运动学模型:车式移动机器人_前轮转向移动机器人运动模型的建立

车式移动机器人运动学模型

问题

车式移动机器人更具有普遍意义。

参数

• $v$：机器人自身线速度
• $\omega$：前轮转向角速度
• $\text{u}$：输入，包括$v$，$\omega$
• $\dot{\text{q}}$：机器人在环境中的位姿描述
• $\theta$：机器人纵向轴与x轴之间的夹脚
• $\varphi$：前轮转角
• $L$：车身长度

推导1

当知道机器人自身前进速度和前轮转角角速度时，求机器人在环境中的位姿。

$\dot{\text{q}}$= $f(\text{u})$

定义机器人在环境中位姿：
$$\text{q}=\left[\begin{array}{r}x\\ y\\ \theta \\ \varphi \end{array}\right]$$
机器人输入，包括自身线速度和前轮转角角速度：
$$\text{u}=\left[\begin{array}{r}v\\ \omega \end{array}\right]$$
而
$$\begin{array}{rl}\dot{x}& =\cos (\theta )v\\ \dot{y}& =\sin (\theta )v\\ \dot{\varphi }& =\omega \end{array}$$
对与计算角速度可以参照下图(其他地方扣过来的，注意符号使用不太一样)

就有了$$\dot{\theta }=\frac{\tan \varphi }{L}v$$
那么，
$$\dot{\text{q}}=\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cc}\cos (\theta )& 0\\ \sin (\theta )& 0\\ \frac{\tan \varphi }{L}& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\end{array}\text{u}$$
更详细的，即：
$$\left[\begin{array}{r}\dot{x}\\ \dot{y}\\ \dot{\theta }\\ \dot{\varphi }\end{array}\right]=\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cc}\cos (\theta )& 0\\ \sin (\theta )& 0\\ \frac{\tan \varphi }{L}& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\end{array}\left[\begin{array}{r}v\\ \omega \end{array}\right]$$

推导2

另一种情况是，知道机器人的前轮转角角度（即方向盘角度）和加速度（即油门），想要求机器人的状态。

• $v$：机器人自身线速度（前进速度）
• $\theta$：机器人纵向轴与x轴之间的夹脚
• $\text{u}$：输入，包括$v$，$\theta$
• $\dot{\text{q}}$：机器人在环境中的位姿描述
• $\varphi$：前轮转角
• $L$：车身长度
  机器人的状态
  $$\text{q}={\left[\begin{array}{r}x\\ y\\ \theta \\ v\end{array}\right]}^T$$
  机器人输入，包括(油门)加速度和(方向盘)前轮转角：
  $$\text{u}=\left[\begin{array}{r}a\\ \varphi \end{array}\right]$$
  那么，
  $$\begin{array}{rl}\dot{x}& =v\ast \cos (\theta )\\ \dot{y}& =v\ast \sin (\theta )\\ \dot{\theta }& =v\ast \tan (\varphi )/L\\ \dot{v}& =a\end{array}$$
  更进一步单步更新可以表示为：
  $$\begin{array}{rl}{x}_{t+1}& =x_t+v\ast \cos (\theta )\ast dt\\ y_{t+1}& =y_t+v\ast \sin (\theta )\ast dt\\ {\theta }_{t+1}& ={\theta }_t+v\ast \tan (\varphi )/L\ast dt\\ v_{t+1}& =v_t+a\ast dt\end{array}$$

Reference

• https://blog.csdn.net/qq_40870689/article/details/87971282
• http://www.cs.cmu.edu/~rasc/Download/AMRobots3.pdf
• Autonomous Robots Modeling, Path Planning, and Control