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移动机器人的运动学模型:车式移动机器人_前轮转向移动机器人运动模型的建立

前轮转向移动机器人运动模型的建立

车式移动机器人运动学模型

问题

车式移动机器人更具有普遍意义。
在这里插入图片描述

参数
  • v v v:机器人自身线速度
  • ω \omega ω:前轮转向角速度
  • u \textbf{u} u:输入,包括 v v v ω \omega ω
  • q ˙ \dot{\textbf{q}} q˙:机器人在环境中的位姿描述
  • θ \theta θ:机器人纵向轴与x轴之间的夹脚
  • ϕ \phi ϕ:前轮转角
  • L L L:车身长度
推导1

当知道机器人自身前进速度前轮转角角速度时,求机器人在环境中的位姿。

q ˙ \dot{\textbf{q}} q˙= f ( u ) f(\textbf{u}) f(u)

定义机器人在环境中位姿:
q = [ x y θ ϕ ] \textbf{q}=\left [ xyθϕ \right] q=xyθϕ
机器人输入,包括自身线速度和前轮转角角速度:
u = [ v ω ] \textbf{u}=\left [ vω \right] u=[vω]

x ˙ = cos ⁡ ( θ ) v y ˙ = sin ⁡ ( θ ) v ϕ ˙ = ω ˙x=cos(θ)v˙y=sin(θ)v˙ϕ=ω x˙y˙ϕ˙=cos(θ)v=sin(θ)v=ω
对与计算角速度可以参照下图(其他地方扣过来的,注意符号使用不太一样)
在这里插入图片描述
就有了 θ ˙ = tan ⁡ ϕ L v \dot{\theta} = \frac{\tan\phi}{L} v θ˙=Ltanϕv
那么,
q ˙ = [ cos ⁡ ( θ ) 0 sin ⁡ ( θ ) 0 tan ⁡ ϕ L 0 0 1 ] u \dot{\textbf{q}}= [cos(θ)0sin(θ)0tanϕL001] \textbf{u} q˙=cos(θ)sin(θ)Ltanϕ00001u
更详细的,即:
[ x ˙ y ˙ θ ˙ ϕ ˙ ] = [ cos ⁡ ( θ ) 0 sin ⁡ ( θ ) 0 tan ⁡ ϕ L 0 0 1 ] [ v ω ] \left [ ˙x˙y˙θ˙ϕ \right]= [cos(θ)0sin(θ)0tanϕL001] \left [ vω \right] x˙y˙θ˙ϕ˙=cos(θ)sin(θ)Ltanϕ00001[vω]

推导2

另一种情况是,知道机器人的前轮转角角度(即方向盘角度)和加速度(即油门),想要求机器人的状态。

  • v v v:机器人自身线速度(前进速度)
  • θ \theta θ:机器人纵向轴与x轴之间的夹脚
  • u \textbf{u} u:输入,包括 v v v θ \theta θ
  • q ˙ \dot{\textbf{q}} q˙:机器人在环境中的位姿描述
  • ϕ \phi ϕ:前轮转角
  • L L L:车身长度
    机器人的状态
    q = [ x y θ v ] T \textbf{q}=\left [
    xyθv
    \right]^T
    q=xyθvT

    机器人输入,包括(油门)加速度和(方向盘)前轮转角:
    u = [ a ϕ ] \textbf{u}=\left [
    aϕ
    \right]
    u=[aϕ]

    那么,
    x ˙ = v ∗ cos ⁡ ( θ ) y ˙ = v ∗ sin ⁡ ( θ ) θ ˙ = v ∗ tan ⁡ ( ϕ ) / L v ˙ = a
    x˙=vcos(θ)y˙=vsin(θ)θ˙=vtan(ϕ)/Lv˙=a
    x˙y˙θ˙v˙=vcos(θ)=vsin(θ)=vtan(ϕ)/L=a

    更进一步单步更新可以表示为:
    x t + 1 = x t + v ∗ cos ⁡ ( θ ) ∗ d t y t + 1 = y t + v ∗ sin ⁡ ( θ ) ∗ d t θ t + 1 = θ t + v ∗ tan ⁡ ( ϕ ) / L ∗ d t v t + 1 = v t + a ∗ d t
    xt+1=xt+vcos(θ)dtyt+1=yt+vsin(θ)dtθt+1=θt+vtan(ϕ)/Ldtvt+1=vt+adt
    xt+1yt+1θt+1vt+1=xt+vcos(θ)dt=yt+vsin(θ)dt=θt+vtan(ϕ)/Ldt=vt+adt

Reference

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