深入解析高斯过程：数学理论、重要概念和直观可视化全解

与其他算法相比，高斯过程不那么流行，但是如果你只有少量的数据，那么可以首先高斯过程。在这篇文章中，我将详细介绍高斯过程。并可视化和Python实现来解释高斯过程的数学理论。

多元高斯分布

多元高斯分布是理解高斯过程所必须的概念之一。让我们快速回顾一下。如果你已经熟悉多元高斯分布，可以跳过这一部分。

多元高斯分布是具有两个以上维度的高斯分布的联合概率。多元高斯分布具有以下的概率密度函数。

x 是具有 D × 1 维度的输入数据，μ 是具有与 x 相同维度的均值向量，Σ 是具有 D × D 维度的协方差矩阵。

多元高斯分布具有以下重要特性：

1. 多元高斯分布的边缘分布仍然遵循高斯分布。
2. 多元高斯分布的条件分布仍然遵循高斯分布。

让我们通过可视化来检验这些概念。假设 D 维数据遵循高斯分布。对于特性1，当我们将输入数据维度 D 分为前 L 维和其余的 D-L=M 维时，我们可以如下描述高斯分布。

那么，当我们对x₁的分布进行边缘化时，x₁的概率分布可以写成:

根据公式（1），在进行边缘化时，我们可以取消其他变量。上图表展示了二维高斯分布的情况。边缘化分布映射到每个轴上；其形式是高斯分布。当我们根据一个轴切割多元高斯分布时，截面的分布仍然遵循高斯分布。

对于特征 2，我们使用相同的 D 维多元高斯分布和两部分划分的输入数据 x₁ 和 x₂。多元高斯分布的条件概率可以写为：

上图显示了二维高斯分布（等高线）和条件高斯分布（虚线）。在每种条件下，高斯分布的形状是不同的。

线性回归与维度诅咒

在深入研究高斯过程之前，首先需要说明线性回归模型的一个主要缺点。高斯过程与这一概念密切相关，并能克服这个缺点。

让我们回顾一下线性回归模型。线性回归模型可以使用基函数