吴恩达机器学习作业（1）：线性回归_由于梯度方程式函数也在每个训练迭代中输出一个代价的向量,所以我们也可以绘制。

目录

1）导入相关库和数据

2）代价函数

3）批量梯度下降

4）绘制线性模型

前阵子在网易云课堂学习了吴恩达老师的机器学习课程，今天结合网上资料，用Python实现了线性回归作业，共勉。建议大家使用Jupyter notebook来编写程序。

1）导入相关库和数据

导入相关库：numpy, pandas, matplotlib

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
'
运行
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拿到数据之后，建议大家先看看数据长什么样子，这样有助于我们进行之后的分析：

path = 'ex1data1.txt'
#指定了列名，header=None
data = pd.read_csv(path, header=None, names=['Population', 'Profit'])
data.head()
 
data.describe()
 
data.plot(kind='scatter', x='Population', y='Profit', figsize=(12,8))
plt.show()

2）代价函数$J(\theta)$

现在我们使用梯度下降来实现线性回归，以最小化成本函数。

首先，我们将创建一个以参数为特征的代价函数：

                                              

其中：

                                           $h_{\theta}(x)=\theta^TX=\theta_0x_0+\theta_1x_1+...+\theta_nx_n$

def computeCost(X, y, theta):
    inner = np.power(((X * theta.T) - y), 2)
    return np.sum(inner) / (2 * len(X))
'
运行
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我们需要在训练集中添加一列，以便我们可以使用向量化解决方案来计算大家函数:

#在第0列插入1，列名为“Ones”
data.insert(0, 'Ones', 1)
 
# set X (training data) and y (target variable)
#cols = 3
cols = data.shape[1]
X = data.iloc[:,0:cols-1] #X选取所有行，去掉最后一列，第一个分号前为行。
y = data.iloc[:,cols-1:cols]#y选取所有行，最后一列

代价函数应该是numpy矩阵，所以我们需要转换X和y，然后才能使用它们。我们还需要初始化参数theta。

X = np.matrix(X.values)
y = np.matrix(y.values)
#我们这里是单变量线性回归，故只需要两个参数
theta = np.matrix(np.array([0,0]))

现在我们计算代价函数（theta初始值为0）

computeCost(X, y, theta)

32.072733877455676

3）批量梯度下降

我们前面只是计算了初试theta为0时代价函数的值，我们现在要使用梯度下降算法来求我们的参数$\theta$。

$\dpi{200} \theta_j:=\theta_j-\alpha\frac{\partial}{\partial\theta_j}J(\theta)$

$\theta_1:=\theta_1-\alpha\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})x^{(i)}$

def gradientDescent(X, y, theta, alpha, iters):
    temp = np.matrix(np.zeros(theta.shape))    #theta.shape=(1,2)
    parameters = int(theta.ravel().shape[1])    #ravel()降维，parameters=2
    cost = np.zeros(iters)                      #iter维零向量
    
    for i in range(iters):                        #迭代iters次
        error = (X * theta.T) - y
        
        for j in range(parameters):                #2个参数
            term = np.multiply(error, X[:,j])
            temp[0,j] = theta[0,j] - ((alpha / len(X)) * np.sum(term))
            
        theta = temp
        cost[i] = computeCost(X, y, theta)    #保存每次迭代后的cost值
        
    return theta, cost
 
alpha = 0.01
iters = 1000
'
运行
运行

现在我们运行梯度下降算法来求我们的参数theta并求出拟合后的代价函数值。

g, cost = gradientDescent(X, y, theta, alpha, iters)
 
computeCost(X, y, g)

4.5159555030789118

4）绘制线性模型

现在我们来绘制线性模型以及数据，直观地看出它的拟合。

x = np.linspace(data.Population.min(), data.Population.max(), 100)
f = g[0, 0] + (g[0, 1] * x)
 
fig, ax = plt.subplots(figsize=(12,8))
ax.plot(x, f, 'r', label='Prediction')
ax.scatter(data.Population, data.Profit, label='Traning Data')
ax.legend(loc=2)
ax.set_xlabel('Population')
ax.set_ylabel('Profit')
ax.set_title('Predicted Profit vs. Population Size')
plt.show()

由于梯度方程式函数也在每个训练迭代中输出一个代价的向量，所以我们也可以绘制。 请注意，代价总是降低 - 这是凸优化问题的一个例子。

fig, ax = plt.subplots(figsize=(12,8))
ax.plot(np.arange(iters), cost, 'r')
ax.set_xlabel('Iterations')
ax.set_ylabel('Cost')
ax.set_title('Error vs. Training Epoch')
plt.show()