我们还拿卖房子为例，对于（房面积，房价）的数据集，我们给出了如下三种曲线拟合方式。

我们先来了解一组概念：方差与偏差

偏差：（bias）是指一个模型的在不同训练集上的平均性能和最优模型的差异。偏差可以用来衡量一个模型的拟合能力。偏差越大，预测值平均性能越偏离最优模型。偏差衡量模型的预测能力，对象是一个在不同训练集上模型，形容这个模型平均性能对最优模型的预测能力。

方差：（ variance）描述的是一个模型在不同训练集上的差异，描述的是一个模型在不同训练集之间的差异，表示模型的泛化能力，方差越小，模型的泛化能力越强。可以用来衡量一个模型是否容易过拟合。预测值的变化范围，离散程度，也就是离其期望值的距离。方差越大，预测结果数据的分布越散。方差用于衡量一个模型在不同训练集之间的关系，和最优模型无关。对象是不同训练集上的一个模型，表示选取不同的训练集，得出的模型之间的差异性。

①左侧的拟合方式：存在高偏差（High bias）的问题，预测值平均性能越偏离最优模型。

②中侧的拟合方式：优秀的拟合方式

③右侧的拟合方式：存在高方差的问题，虽然在这个模型中代价函数可能很少，但是它的泛化能力很差，难以泛化...

5.1.2 逻辑回归中的曲线过拟合问题

左侧拟合高偏差；中间为优秀拟合；右侧为过拟合。

5.1.3 如何解决过拟合问题

减少特征数量：手动选择要保留的特征；模型选择算法（后章介绍）

正则化参数：保留所有特征，但减小参数的权值 $\theta_{j}$ ；当我们有很多特征时，效果很好，每个特征都对预测 $y$ 有所贡献。

5.2 将参数正则化解决过拟合问题

如上图所示，左图是优秀拟合示例，右图蓝色是过拟合的示例，如果我们降低 $\theta_{3},\theta_{4}$ 的权重（0.0000001），则可以得到紫色的优秀拟合示例。

在正则化线性回归中，我们选择 $\theta$ 以最小化：

那么我们如何选择参数 $\lambda$ 呢？如果 $\lambda$ 过大

①算法工作正常，设置 $\lambda$ 非常大也无所谓。

②但算法无法消除过拟合

③算法导致欠拟合。（甚至无法很好地拟合训练数据）。

④梯度下降法无法收敛

若设置 $\lambda$ 过大最终拟合效果如上图：我们可以看到，曲线是欠拟合的....

5.3 正则化线性回归

5.3.1 代价函数

$\jmath (\theta ) = \frac{1}{2m} [\sum_{i=1}^{m}(h_{\theta}(x^{i})-y^{(i)})^{2} + \lambda \sum_{i=1}^{n}\theta_{j}^2]$

这里， $m$ 表示数据集的数量， $n$ 表示待拟合参数的数量。

5.3.2 梯度下降法迭代θ

$\theta_{j} :=\theta_{j}(1-\alpha \frac{\lambda }{m})-\alpha \frac{1 }{m}\sum_{i=1}^{m}(h_{\theta}(x^{(i)})-y^{(i)})x_{j}^{(i)}$

5.3.3 正规方程求θ

对于 $n$ 个特征的待拟合线性回归方程

$\theta = (X^TX + \lambda \begin{vmatrix} 0 &0 &0 &0 &0 & 0 &0 \\ 1&0 & 0 & 0 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 1& 0 & 0 &0 &0 & 0\\ 0&0 & 1 & 0 & 0 &0 &0 \\ ...& ...& ... & ... & ... & ... & ...\\ ... &... & ... &... & ... & ...&... \\ 0&0 &0 & 0&0 &0 & 1 \end{vmatrix}^{-1})X^Ty$

5.4 正则化逻辑回归

5.4.1 代价函数

$\jmath (\theta) = -\frac{1}{m}\begin{bmatrix} \sum_{i=1}^{m} ( y^{(i)}log(h_{\theta}(x^{(i)})) + (1-y^{(i)})log(1-h_{\theta}(x^{(i)})) \end{bmatrix} + \frac{\lambda }{2m}\sum_{j=1}^{n}\theta_{j}^{2}$

5.4.2 梯度下降法迭代θ

$\theta_{j} := \theta_{j} - \alpha [\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(y^{(i)}logh_{\theta}(x^{(i)})-y^{(i)})x_{j}^{(i)} - \frac{\lambda }{m}\theta_{j}]$

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