[线性代数]二次型(秦静老师主讲)_可逆线性变换的求解步骤

本博文源于山东大学秦静老师主讲的《线性代数》。内容包含：

• 二次型及其矩阵
• 正交变化法化二次型为标准型
• 配方法化二次型为标准型
• 二次型的分类
• 二次型习题课

二次型及其矩阵

二次型定义

二次型标准型定义

二次型的矩阵表示法

二次型f的秩

可逆线性变换

若线性变换的矩阵可逆，则称线性变换为可逆线性变换

正交变换

若线性变换的矩阵正交，则称线性变换为正交变换。

矩阵合同

矩阵的合同具有自反性、对称性、传递性。
等价、相似、合同的关系：
相似==》等价
合同==》等价
但反之均不成立。一般而言，相似与合同没有关系。但正交相似与合同一致。

定理 实对称矩阵

实对称矩阵一定与对角阵合同

定理 可逆线性变换

例题 求二次型的秩

拿到此题，先不要慌张，先把它进行展开，然后把矩阵写出来，最后在矩阵里面求个秩，就非常简单了。

正交变化法化二次型为标准型

定理 实二次型转正交变换

变换法一般步骤

总结也不过是：写二次型矩阵，化对角形，做变换。

例题 用正交化二次型

拿到题目，先写二次型矩阵，算特征值，特征向量。正交化，单位化。最后写标准形

配方法化二次型为标准型

配方法一般情形

情形1是肯定容易做的，情形2就需要绕一下弯了。

情形1 例题

这种题目的关键，就是按照顺序x1,x2,x3的顺序。一个个解决

情形2 例题

写出情形2所指出的坐标变换，然后一步步往下演算，尤其是最后一步，都是要结合变换来做出计算的。

二次型的分类

正(负)定二次型定义

准正(负)定二次型定义

不定二次型定义

二次型正定的判别法

用定义

这种看着就是玩证明题的料儿

用标准型

定理1 实二次型正定的充要条件

定理2 可逆线性变换不改变二次型的正定性

可逆线性变换不改变二次型的正定性。

推论1 正定《=》矩阵全部特征值都是正数

推论2 若A正定，则|A|>0

推论3 若A正定，则A与单位阵合同，即有可逆阵C，使

若A正定，则A与单位阵合同，即有可逆阵C，使

用特征值

例子 设A为正定阵，证明A^-1,A*都是正定阵

特征值的例子。堪称大法宝！

用顺序主子式

顺序主子式定义

顺序主子式判定条件

例子 已知正定，求t的范围

先写出矩阵，然后用顺序主子式判定。

二次型习题课

例子1 已知二次型与标准形求k及正交阵

先写二次型矩阵，然后利用标准形得出正交相似，判断出A的特征值，最后由特征值算出k

最后算出特征向量，正交化，单位化

例子2 设p为n阶方阵，A=P^t P，讨论A的正交性

设p为n阶方阵，A=P^t P，讨论A的正交性。
看见这道题目的时候，就是按照之前老师所讲的，要左乘，因此左乘X^T,然后根据p的可逆，判断是否正定。