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[线性代数]二次型(秦静老师主讲)_可逆线性变换的求解步骤

可逆线性变换的求解步骤

本博文源于山东大学秦静老师主讲的《线性代数》。内容包含:

  • 二次型及其矩阵
  • 正交变化法化二次型为标准型
  • 配方法化二次型为标准型
  • 二次型的分类
  • 二次型习题课

二次型及其矩阵

二次型定义

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二次型标准型定义

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二次型的矩阵表示法

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二次型f的秩

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可逆线性变换

若线性变换的矩阵可逆,则称线性变换为可逆线性变换

正交变换

若线性变换的矩阵正交,则称线性变换为正交变换。

矩阵合同

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矩阵的合同具有自反性、对称性、传递性。
等价、相似、合同的关系:
相似==》等价
合同==》等价
但反之均不成立。一般而言,相似与合同没有关系。但正交相似与合同一致。

定理 实对称矩阵

实对称矩阵一定与对角阵合同

定理 可逆线性变换

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例题 求二次型的秩

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拿到此题,先不要慌张,先把它进行展开,然后把矩阵写出来,最后在矩阵里面求个秩,就非常简单了。

正交变化法化二次型为标准型

定理 实二次型转正交变换

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变换法一般步骤

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总结也不过是:写二次型矩阵,化对角形,做变换。

例题 用正交化二次型

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拿到题目,先写二次型矩阵,算特征值,特征向量。正交化,单位化。最后写标准形
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配方法化二次型为标准型

配方法一般情形

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情形1是肯定容易做的,情形2就需要绕一下弯了。

情形1 例题

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这种题目的关键,就是按照顺序x1,x2,x3的顺序。一个个解决

情形2 例题

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写出情形2所指出的坐标变换,然后一步步往下演算,尤其是最后一步,都是要结合变换来做出计算的。
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二次型的分类

正(负)定二次型定义

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准正(负)定二次型定义

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不定二次型定义

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二次型正定的判别法

用定义

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这种看着就是玩证明题的料儿

用标准型

定理1 实二次型正定的充要条件

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定理2 可逆线性变换不改变二次型的正定性

可逆线性变换不改变二次型的正定性。

推论1 正定《=》矩阵全部特征值都是正数

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推论2 若A正定,则|A|>0
推论3 若A正定,则A与单位阵合同,即有可逆阵C,使

若A正定,则A与单位阵合同,即有可逆阵C,使
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用特征值

例子 设A为正定阵,证明A^-1,A*都是正定阵

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特征值的例子。堪称大法宝!

用顺序主子式

顺序主子式定义

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顺序主子式判定条件

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例子 已知正定,求t的范围

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先写出矩阵,然后用顺序主子式判定。

二次型习题课

例子1 已知二次型与标准形求k及正交阵

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先写二次型矩阵,然后利用标准形得出正交相似,判断出A的特征值,最后由特征值算出k
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最后算出特征向量,正交化,单位化
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例子2 设p为n阶方阵,A=P^t P,讨论A的正交性

设p为n阶方阵,A=P^t P,讨论A的正交性。
看见这道题目的时候,就是按照之前老师所讲的,要左乘,因此左乘X^T,然后根据p的可逆,判断是否正定。
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