概率论原理精解【2】

笛卡尔积

任意笛卡尔积

• { A t , t ∈ T } \{A_t,t \in T\} {At​,t∈T}是一个集合族，其中T为一个非空指标集，称 × t ∈ T A t = { a = ( φ ( t ) , t ∈ T ) ∣ ( φ ( t ) ∈ A t , ∀ t ∈ T } \times_{t \in T} A_t=\{a=(\varphi(t),t \in T)|(\varphi(t) \in A_t,\forall t \in T\} ×t∈T​At​={a=(φ(t),t∈T)∣(φ(t)∈At​,∀t∈T}，称为乘积空间。
  $\phi$为映射。比如2个集合
  $A_1\times A_2=\{({\beta }_1,{\beta }_2)|{\beta }_1\in A_1,{\beta }_2\in A_2\}$
  ${\beta }_1=\phi (1),{\beta }_2=\phi (2)$
  $A_1\times A_2=\{(\phi (1),\phi (2))|\phi (1)\in A_1,\phi (2)\in A_2\}$
• 设 { A t , t ∈ T } 和 { B t , t ∈ T } 设\{A_t,t \in T\}和\{B_t,t \in T\} 设{At​,t∈T}和{Bt​,t∈T}为两族集合。
  $$\begin{gathered} 1.{\times }_{t\in T}{A}_t=\varnothing \iff 至少一个A_t=\varnothing \\ 2.所有的t\in T,A_t\subset B_t=>{\times }_{t\in T}{A}_t\subset {\times }_{t\in T}{B}_t \\ 3.如果A_t非空，{\times }_{t\in T}{A}_t\subset {\times }_{t\in T}{B}_t=>所有的t\in T,A_t\subset B_t \\ 4.({\times }_{t\in T}{A}_t)\cap ({\times }_{t\in T}{B}_t)={\times }_{t\in T}(A_t\cap B_t) \\ 5.({\times }_{t\in T}{A}_t)\cup ({\times }_{t\in T}{B}_t)={\times }_{t\in T}(A_t\cup B_t) \end{gathered}$$

投影映射

概述

• 坐标映射
  T 为非空指标集， { A t ∣ t ∈ T } 是一族集合。 π t 映射 : × t ∈ T A t → A t , ( φ ( t ) , t ∈ T ) → φ ( t ) 为 × t ∈ T A t 至 A t 的坐标映射 T为非空指标集，\{A_t|t \in T\}是一族集合。 \\\pi_t映射:\times_{t \in T}A_t \rightarrow A_t,(\varphi(t),t \in T) \rightarrow \varphi(t)为\times_{t \in T}A_t至A_t的坐标映射 T为非空指标集，{At​∣t∈T}是一族集合。πt​映射:×t∈T​At​→At​,(φ(t),t∈T)→φ(t)为×t∈T​At​至At​的坐标映射
• 投影映射
  $$\begin{gathered} \varnothing \ne T_1\subset T_2\subset T_3，称{\pi }_{T_1}^{T_2}:{\times }_{t\in T_2}{A}_t\to {\times }_{t\in T_1}{A}_t,(\phi (t),t\in T_2)\to (\phi (t),t\in T_1) \\ {\pi }_{T_1}={\pi }_{T_1}^{T_2} \end{gathered}$$
• 有限个集合$A_1,A_2,...,A_n$，${\pi }_i:{\times }_{j=1}^n{A}_j\to A_i,{\pi }_i(a)=a_i是第i个投影映射。a=(a_1,a_2,....,a_n)\in {\times }_{j=1}^n{A}_j$
  在测度论中，投影映射是一个重要的概念，它涉及到从乘积空间到其因子空间的映射。以下是对投影映射在测度论中的详细解释：

详解一

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一、定义

设(X, Σ, μ)和(Y, Τ, ν)是两个可测空间，而Z是它们的乘积空间，即Z = X × Y，配备有乘积σ-代数Σ×Τ（由X和Y中的可测矩形生成的最小σ-代数）。那么，从Z到X（或Y）的投影映射πX（或πY）是一个将Z中的点(x, y)映射到X中的x（或Y中的y）的函数。

二、性质

1. 可测性：在乘积可测空间中，投影映射是可测的。即，如果A是Z中的一个可测集，那么πX(A)（或πY(A)）是X（或Y）中的一个可测集。这一性质是乘积可测空间定义的一个重要结果。
2. 测度保持：在某些情况下，投影映射可以保持测度的某些性质。例如，在Fubini-Tonelli定理中，如果f是Z上的一个非负可测函数，并且μ和ν都是σ-有限测度，那么对几乎所有的x∈X（或y∈Y），f在πX^{{-1}({x})（或πY}{-1}({y}))上的积分是定义良好的，并且积分函数在X（或Y）上是可测的。此外，对f在Z上的积分等于先对x（或y）积分再对y（或x）积分的迭代积分。
3. 截口：对于乘积空间Z中的可测集A，A在x（或y）处的截口A_x（或A_y）是Y（或X）中的一个子集，它包含所有与x（或y）配对的y（或x），使得(x, y)属于A。截口是理解投影映射性质的重要工具。

三、应用

投影映射在测度论中有广泛的应用，特别是在处理多维空间中的问题时。例如，在概率论中，我们经常需要处理随机向量的分布，这时就可以利用投影映射将高维问题转化为低维问题来处理。此外，在积分理论中，Fubini-Tonelli定理和投影映射的性质为我们提供了计算多维积分的有力工具。

四、结论

投影映射是测度论中一个重要的概念，它建立了乘积空间与其因子空间之间的联系。通过投影映射，我们可以将多维问题转化为低维问题来处理，从而简化问题的复杂性。同时，投影映射的性质也为我们在多维空间中定义和计算测度、积分等提供了重要的理论基础。

详解二

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在测度论中，投影映射是一个重要的概念，它涉及到可测空间之间的映射关系，特别是当我们将一个乘积空间中的元素映射到其某个因子空间时。以下是对投影映射在测度论中的详细解释：

定义与性质

• 投影映射：对于乘积可测空间$(X_1\times X_2,{\mathcal{F}}_1\times {\mathcal{F}}_2)$，其中$(X_1,{\mathcal{F}}_1)$和$(X_2,{\mathcal{F}}_2)$是可测空间，投影映射${\pi }_i$（$i=1,2$）是从$X_1\times X_2$到$X_i$的映射，它将乘积空间中的元素$(x_1,x_2)$映射为其第$i$个分量，即${\pi }_1(x_1,x_2)=x_1$，${\pi }_2(x_1,x_2)=x_2$。
• 可测性：在测度论中，一个映射被称为可测的，如果它将可测集映射为可测集。对于投影映射${\pi }_i$，一个重要的性质是它是可测的。这意味着，如果$A\in {\mathcal{F}}_1\times {\mathcal{F}}_2$是乘积空间中的一个可测集，那么${\pi }_i(A)$（即$A$在$X_i$上的投影）在$(X_i,{\mathcal{F}}_i)$中也是可测的。

应用与意义

• 投影的可测性：投影映射的可测性在证明乘积可测空间的性质时起着关键作用。例如，在证明乘积空间上的可测集满足某种性质时，我们往往可以从可测矩形（即形如$A_1\times A_2$的集合，其中$A_1\in {\mathcal{F}}_1$，$A_2\in {\mathcal{F}}_2$）出发，利用投影的可测性来推广到更一般的可测集。
• 测度转移函数：在构造乘积空间上的测度时，测度转移函数是一个重要的工具。它允许我们将一个可测空间上的测度“转移”到乘积空间上，而投影映射的可测性则是这种转移得以实现的基础。

示例

考虑两个实数空间$\mathbb{R}$上的可测空间$(\mathbb{R},{\mathcal{B}}_{\mathbb{R}})$，其中${\mathcal{B}}_{\mathbb{R}}$是实数集上的Borel集（即包含所有开集和闭集的最小σ-代数）。乘积空间$\mathbb{R}\times \mathbb{R}$上的可测集由Borel矩形（即形如$A\times B$的集合，其中$A,B\in {\mathcal{B}}_{\mathbb{R}}$）生成的σ-域给出。此时，投影映射${\pi }_1$和${\pi }_2$都是可测的，因为任何Borel矩形的投影都是Borel集。

结论

在测度论中，投影映射是一个基本而重要的概念，它描述了乘积空间与其因子空间之间的映射关系。投影映射的可测性在证明乘积可测空间的性质以及构造乘积空间上的测度时起着至关重要的作用。

参考文献

1.《测度论基础与高等概率论》