1.2.2 数字信号处理部分知识重温(2)实时采样、带通采样、增采样与等效（欠）采样_带通采样欠采样

       写在前面：本文不作为一篇严谨的理论推导文章，仅为博主学习时的随手小记，个人的主观认知为主，以求日后能在较快时间内理清思路，找到当下的学习状态。文章中会尽量避免出现过多公式及推导，如果能有幸给其他朋友带来一些帮助，不甚荣幸。

感谢以下文章及老师的指导：

【等效时间采样原理及基于FPGA的实现】CSDN编程社区

【‍stm32Cubemx欠采样（等效采样）原理讲解与实现 采集高频信号】CSDN编程社区

【实时采样与等效采样】

CSDN编程社区

【工程中的带通采样定理 [学以致用系列课程之数字信号处理]-哔哩哔哩】 工程中的带通采样定理 [学以致用系列课程之数字信号处理]_哔哩哔哩_bilibili

【【数字信号处理考研】DSP中增采样内插器-采样率按整数因子减大，时域和频域推导理解-哔哩哔哩】 

【数字信号处理考研】DSP中增采样内插器-采样率按整数因子减大，时域和频域推导理解_哔哩哔哩_bilibili

【【数字信号处理考研】DSP中增采样减采样的理解-核心原理-哔哩哔哩】 

【数字信号处理考研】DSP中增采样减采样的理解-核心原理_哔哩哔哩_bilibili

• 一、实时采样（奈奎斯特采样定理）（针对一切信号）

最为直接，按照等时间间隔，对一个周期内的信号进行采样即可，为了防止频域混叠，采样时要满足奈奎斯特采样定理（采样频率>=2*信号频率=奈奎斯特采样频率）。在实际工程中，为了由采样点准确恢复信号，一般一个波形取十个采样点（采样频率=10*信号频率）。

需要注意的是，奈奎斯特采样定理对于一切类型的信号采样都是成立的，包括下文提到的带通信号。但是奈奎斯特采样定理往往运用在有直流、低频分量的低通信号（低通信号只能由奈奎斯特采样定理解决）。而带通信号（比如有效频域在9-10M的带通信号）的最高频率分量有可能会很高，如果也使用实时采样，相当于采样信号的频率要达到其最高频率分量10倍，这可能是设备无法承受的。

因此，在带通信号可以同时被奈奎斯特采样定理和带通采样定理处理的前提下，使用带通采样定理。

• 二、等效（欠）采样定理（主要关注被采样信号的时域）（针对一切信号）

这个定理也叫下采样定理，这一部分，我在上方贴出的第一篇帖子主要讲解的是等效采样定理常用的顺序（连续）采样，除此之外，还有一种同为等效采样的随机采样。

我们在工程中常使用的就是连续采样，这一部分，第一篇帖子已经讲得非常易懂透彻了，我就不多费笔墨，班门弄斧了，大家可以移步前去阅读。

值得一提的是，尽管等效采样的采样频率不符合奈奎斯特定理，但是等效采样频率是符合的。可见，这是一种牺牲时间换取的高频采样技术。

• 三、增(上)采样定理

增采样用于将一离散时间信号的采样频率提高，从而增加信号的数据点数量。

增采样的目的是为了使信号在时间域上更加细致，增加信号的分辨率。

值得注意的是，我们实现的过程，不是在原信号上采集更多的数据点（也就是说，我们不是用更高的采样频率信号去采样），而是根据已有的采样频率（符合奈奎斯特定理）采集到的信号序列，进行若干处理，得出位于原采集点之间的数据点（实现了更高的等效采样率）。

我们以下做的所有事情，都是通过对时域的原采样序列插零，再经离散时间低通滤波器过滤，实现对原采样信号（冲激序列）进行处理，使其改造后的频域图像与更高频率（L倍）的采样信号频域图像一致。从而“等效实现”更高的采样。

涉及以下步骤：

1. 零值插入（Zero-padding）：在相邻的采样点之间插入零值，使得采样点之间的间隔变小。

2. 插值（Interpolation）：通过一定的插值算法（如线性插值、样条插值等），在已有的采样点之间生成新的采样点。插值算法根据已有的采样点的值和位置，来推测新采样点的值。

3. 滤波（Filtering）：对插值后的信号进行滤波以去除插值后的伪像或不必要的高频成分。

具体来说，首先，我们为了采样到更多的点，就势必要提升采样速率，降低采样周期T，设新采样周期T`=T/L，原采样信号为冲激序列(傅里叶变换及频域波形对如下图第一行的式子和图像所示)，则新冲激序列傅里叶变化（傅里叶变换及频域波形对如下图第二行的式子和图像所示）。

值得注意的是，由于冲激函数的性质，图像压缩，幅值增大，增大L倍。也就是说，经过增采样后的系统，系统增益变为原来的L倍。

请再好好的看看这两个不同采样信号的频域波形，第一个是现实采样信号，第二个是我们目标要达到（等效实现）的采样信号。

首先是第一步：零值插入（如下图第一行），采样速率增大几倍，就在每个原采样点之间插入多少0值；之后将插零后的序列通过离散时间低通滤波器，得到的新波形如下图第二行，可以发现，我们得到了一个更接近原信号，分辨率更高的时域图像。

下面解释这一过程：插零后的序列时域表达式如下图第一第二行所示（n-kL=0时，冲激函数等于非零值==>k=n/L时函数取值有意义，除此之外的点均为0，由此实现第二行到第一行的转变）

将插零后的序列转换到频域，下图是具体表达式（大概看看）和频域图像。

如下图，左图一是插零后原采样序列的频域示意图，左图二是离散时间低通滤波器频域示意图（注意：其幅值为L）。左图三是经过滤波器后的序列，也就是我们目标最终得到的更高频率的采样信号（冲激序列）。

我们这样理解离散时间低通滤波器频域波形：我们认为，这等效于一个低通滤波器，之后再经过频域周期延拓（时域采样）得来的。

因此，我们用滤波器过滤采样信号的过程也等效于：

①先用一个低通滤波器将插零后序列过滤后在频域只剩余一个周期的图像（频域采样定理：频域离散化（采样）=>时域周期（连续）化），此时采样信号原先离散的序列还原为了一个连续的原被采样信号。

但要注意，经过过滤后的频域波形，带宽为2π/L，由傅里叶变换性质，频域压缩，时域展宽，被采样信号周期/长度变为原先L倍，也就是频率变为原先1/L(放慢L倍)。

所以可以得出结论：被采样信号采样得到的离散序列插零后，经过一个合适的低通滤波器，可以得到一个频率变为原先1/L(放慢L倍)的被采样信号。

②此时我们再对滤波器（过滤后的采样信号）频域按照原采样信号频率f进行周期延拓，也就是对速率放慢L倍的原被采样信号，按照原先速率的采样信号进行采样，因此自然采样到原先L倍的数据（时域离散化）。

如右图一，插零和离散时间低通滤波器组合共同构成了增采样。

• 四、带通采样定理（主要关注被采样带通信号的频域）（针对带通信号）

首先我们要明确一个原则：我们研究任何的采样定理，都是为了实现时域信号采样后，周期化的频域波形不混叠。因此，只要频域不混叠，就值得讨论。

通过下图，我们发现，对于带通信号来说，在信号被采样，正半频域的和负半频域的波形分别向左和向右开始周期延拓，但是我们似乎可以找到一个特殊的采样频率，使得两边的频域波形在按照这个采样频率移动时“刚好错开”。

下图的例子使用的采样频率，比原信号最高频率分量，甚至是最低频率分量都要小！

如下图，我们对实现这种现象的条件进行定量分析：

   （第一行）如图，负频域的原波形最高频率分量=-fL，在经过k-1次，数值=采样频率fs的向正半轴的搬移(+(k-1)fs)后，恰巧来到离正频域原波形左半部分最近处，此时为了不混叠，搬移到此的负频域波形最高频率分量不能y大于正频域原波形最高频率分量（fL）

   （第二行）以此类推

    第三行：通过第一个不等式，可以发现，能保证不混叠的频率有一个区间（实际上可能是好几个区间，其中包括符合奈奎斯特采样定律的频率区间），而非特定的一个数；第二个不等式需要由第一个不等式导出：我们单独分析k<=fh/B这一部分。

(k<=fh/B)==>(B<=fh/k)==>(2B<=2fh/k),在第一个不等式中已知：(2fh/k<=fs)，所以可以知道：(2B<=2fh/k<=fs)==>(2B<=fs)，而这正是奈奎斯特定理！说明带通采样定理的极限就达到了实时采样（奈奎斯特定理）。

从物理意义上看，下图预设的情况，64khz采样3khz和67khz，再DA还原得到的波形是相同的。这就意味着：如果以完全还原被采样信号为目的，带通采样是无法实现的，必须符合奈奎斯特准则，只能借助增采样、实时采样和欠采样实现。

但是我们之所以要学习这个原理，是因为通过这个原理，在频域上我们依旧可完全得到我们想要的频域信息(频率成分、相位关系和幅度信息)。假设说，我们存在一个信号，频域波形（频域信息）如下图，这个波形中心频率4.5khz，我们通过调制将其搬移到66.5-67.5khz，中心频率67khz，得到了这样一个新信号。

我们使用带通采样定理，用64khz采样。我们从1.2.1（1）的文章介绍过，时域采样=频域周期化/周期延拓。因此，这个信号的在正半轴和负半轴的频域波形均分别向左向右，按照采样频率（这里指64khz）向左向右周期移动。正半轴的波形向左偏移1次时，得到一个2.5-3.5khz，中心频率3khz的相同波形。

根据奈奎斯特采样定理，我们知道，采样信号64khz，可以完整的采集到0-32khz以内的频域信息。因此，对于2.5-3.5khz，中心频率3khz的信号自然是可以采集得到，因此，通过频域搬移的方式，我们将原本无法采样的信号搬移到了一个可以采样的频域范围。实现了采样。假设我们事先已知知道了原信号的中心频域，我们即可将频域波形再搬移过去即可。这样我们就完全的得到了原波形的全部频域状态。

• 五、总结

工程上：

if(板载资源富裕时（开发板最高运行效率>=10*被采样信号频率）){

实时采样or增采样

}else{

  if(带通信号）{

    等效采样or带通采样

  }else{

    等效采样

  }

}

可以还原原时域信号：除带通采样

可以还原原频域信号：全部

各采样定理适用范围：

（大于等于奈奎斯特采样频率） 实时采样 增采样

（小于奈奎斯特采样频率） 等效采样 带通采样