矩阵维度必须一致_【3.4】矢量的线性独立，矩阵的秩，矢量空间的维度和基

作者：酷酷是懒虫 | 2024-08-15 08:52:55

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列向量独立性强的矩阵

一组矢量

，如果只有当系数全为

时，它们的线性组合结果才能为

，即

只有在

时才成立，那么我们就说这组矢量

线性独立。

比如上图

中不共线的矢量

和

就是线性独立的；而

，它们可以通过非零线性组合系数得到

，因此

和

就不是线性独立的。事实上

中任何

个和

个以上的矢量都不可能独立，就算它们不共线，一般情况下你也可以很轻松的把任何一个矢量根据平行四边形法则分解到另外两个矢量的方向，这意味着它可以被两个不共线的矢量表示，也就是可以有非零系数让这三个矢量的线性组合为

，它们不独立。

如果其中有

矢量呢？这其实更容易证明它们不独立。因为我们可以让

矢量的系数非零，而让其它非零矢量的系数都等于

，这样一组矢量的和等于

。

所以线性独立的一组矢量是不能包含零矢量的。

现在我们用另外一种方式说明什么叫线性独立：将矢量

作为矩阵的列向量，这组矢量独立则意味着

只有零解。

再讨论一下上面提到的

中任何

个矢量，用它们做列向量构成一个

的矩阵

，那么

一定有非

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