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给你一个整数数组 nums
,请你将该数组升序排列。
示例 1:
输入:nums = [5,2,3,1] 输出:[1,2,3,5]
示例 2:
输入:nums = [5,1,1,2,0,0] 输出:[0,0,1,1,2,5]
归并排序也就是找一个中间值mid,先排mid左边的区域,再排mid右边的区域,而左边的区域又可以分为两块,继续排序,以此类推 .....最后再将两个有序数组进行合并
这里的归并排序与上一章节的快排,都是执行了数组分块的逻辑,较为类似,所以放在一块讲解
这里可以将快排理解为二叉树的前序遍历,即先将根结点这一层分好,再去分左子树,右子树...
而归并排序,可以理解为二叉树的后序遍历,即先将左子树、右子树分完,再合并到根结点处
这里的归并排序同样分为下面几步:
①选择中间点mid
②左右区间排序
③合并左右两个数组
④将 tmp 数组数据还原到数组 nums 中
代码如下:
- class Solution
- {
- vector<int> tmp;//临时数组放全局,相比于放局部提高效率
- public:
- vector<int> sortArray(vector<int>& nums)
- {
- tmp.resize(nums.size());//临时数组 开空间 + 初始化
- mergeSort(nums, 0, nums.size() - 1);
- return nums;
- }
-
- void mergeSort(vector<int>& nums, int left, int right)
- {
- if(left >= right) return;
- //选择中间点划分
- int mid = ((right - left) >> 1) + left;
- //左右区间排序
- mergeSort(nums, left, mid);
- mergeSort(nums, mid + 1, right);
- //合并两个数组
- int cur1 = left, cur2 = mid + 1, i = 0;
- while(cur1 <= mid && cur2 <= right)
- tmp[i++] = nums[cur1] <= nums[cur2] ? nums[cur1++] : nums[cur2++];
- //处理两个数组中可能有剩余元素的数组,即没有遍历完的数组
- while(cur1 <= mid) tmp[i++] = nums[cur1++];
- while(cur2 <= right) tmp[i++] = nums[cur2++];
- //还原数组
- for(int i = left; i <= right; i++) nums[i] = tmp[i - left];
- }
- };
在股票交易中,如果前一天的股价高于后一天的股价,则可以认为存在一个「交易逆序对」。请设计一个程序,输入一段时间内的股票交易记录 record
,返回其中存在的「交易逆序对」总数。
示例 1:
输入:record = [9, 7, 5, 4, 6] 输出:8 解释:交易中的逆序对为 (9, 7), (9, 5), (9, 4), (9, 6), (7, 5), (7, 4), (7, 6), (5, 4)。
逆序对其实在大学的课程是学过的,只要在数组中从前往后挑选的两个数中,前一个数比后一个数大,就称这两个数为一个逆序对
解法一:暴力解法
两层for循环,依次枚举每一个组合,从所有组合中寻找逆序对,这种解法比较简单,且一定会超时,所以代码就不列举了
解法二:归并排序
下面可以对归并排序说明,即分为两部分,左边部分挑出来逆序对个数,右边部分挑出来逆序对个数,再一左一右挑出来逆序对个数,相加即可
下面可以优化为:
左半部分 -> 左排序 -> 右半部分 -> 右排序 -> 一左一右 -> 排序
策略一:找出该数之前,有多少个数比我大的(升序排列)
现在分为两部分,如下所示:
因为是升序排序的,所以此时cur1、cur2前面的部分都是小的,由于要找的逆序对时前面的数比后面的数大,所以当找到cur1大于cur2的时候,左半部分的cur1后面的其他数也肯定大于cur2,此时就不用继续比较了,直接加上后面的个数,再cur2++,往后寻找,也就是:
①nums[cur1] <= nums[cur2]:cur1++
②nums[cur] > nums[cur2]:ret += mid - cur1 + 1,cur2++
策略二:找出该数之后,有多少个数比我小的(降序排列)
降序排列如下所示:
①nums[cur2] < nums[cur1]:ret += right - (mid + 1) +1 = right - mid,cur1++
②nums[cur2] >= nums[cur1]:cur2++
代码如下:
- class Solution
- {
- vector<int> tmp;
- public:
- int reversePairs(vector<int>& record)
- {
- tmp.resize(record.size());
- return mergeSort(record, 0, record.size() - 1);
- }
-
- int mergeSort(vector<int>& nums, int left, int right)
- {
- if(left >= right) return 0;
-
- int ret = 0;
- //找中间点,将数组分为两部分
- int mid = ((right - left) >> 1) + left;
- //左边数组 + 排序 + 右边数组 + 排序
- ret += mergeSort(nums, left, mid);
- ret += mergeSort(nums, mid + 1, right);
- //一左一右的数
- int cur1 = left, cur2 = mid + 1, i = 0;
- //策略一:升序版本
- while(cur1 <= mid && cur2 <= right)
- {
- if(nums[cur1] <= nums[cur2])
- {
- tmp[i++] = nums[cur1++];
- }
- else
- {
- ret += mid - cur1 + 1;
- tmp[i++] = nums[cur2++];
- }
- }
- //策略二:降序版本
- // while(cur1 <= mid && cur2 <= right)
- // {
- // if(nums[cur1] > nums[cur2])
- // {
- // ret += right - cur2 + 1;
- // tmp[i++] = nums[cur1++];
- // }
- // else
- // {
- // tmp[i++] = nums[cur2++];
- // }
- // }
- while(cur1 <= mid) tmp[i++] = nums[cur1++];
- while(cur2 <= right) tmp[i++] = nums[cur2++];
- //还原数组
- for(i = left; i <= right; i++) nums[i] = tmp[i - left];
- return ret;
- }
- };
给你一个整数数组 nums
,按要求返回一个新数组 counts
。数组 counts
有该性质: counts[i]
的值是 nums[i]
右侧小于 nums[i]
的元素的数量。
示例 1:
输入:nums = [5,2,6,1]
输出:- [2,1,1,0]
- 解释:
5 的右侧有 2 个更小的元素 (2 和 1)
2 的右侧仅有 1 个更小的元素 (1)
6 的右侧有 1 个更小的元素 (1)
1 的右侧有 0 个更小的元素
示例 2:
输入:nums = [-1] 输出:[0]
示例 3:
输入:nums = [-1,-1] 输出:[0,0]
这道题与上一道题的逆序对比较像,上一题是直接求逆序对的数量,而此题是求每个元素有几个右边比它小的元素的数量
解法:归并排序(分治)
上一题讲到了有两个策略:
策略一:求一个数左边有多少个数比我大(升序)
策略二:求一个数右边有多少个数比我小(降序)
此题使用策略二比较方便些,图如下所示:
所以就有下面两种情况:
①nums[cur1] <= nums[cur2]:cur2++
②nums[cur1] > nums[cur2]:数组中cur1这个位置的数 = 原始下标 + right - cur2 + 1
那么由于归并排序是会改变数组中元素位置的,怎么能够记住数组中原始下标的位置呢?
利用哈希的思想, 创建一个和nums等规模大小的数组,并记录原始的下标,在nums数组的元素移动时,该数组也跟着移动即可
由于此时多了一个index下标数组,所以还需要多创建一个辅助数组,需要注意的是在使用nums数组的辅助数组tmpNums时,index数组的辅助数组tmpIndex也需要使用,为了最终能够找到原始下标
在处理一左一右两部分时,由于需要记录cur1位置的数值,那么就需要该位置的数值所对应的原始下标,原始下标为index[cur1],找到了原始下标,那么此时往最终的数组中写时,就变为了:
ret[index[cur1]]
代码如下:
- class Solution
- {
- vector<int> ret; //最终结果
- vector<int> index; //原始下标
- int tmpNums[500010]; //辅助数组
- int tmpIndex[500010]; //辅助数组
- public:
- vector<int> countSmaller(vector<int>& nums)
- {
- int n = nums.size();
- ret.resize(n), index.resize(n);
- //初始化 index 数组
- for(int i = 0; i < n; i++) index[i] = i;
- mergeSort(nums, 0, nums.size() - 1);
- return ret;
- }
-
- void mergeSort(vector<int>& nums, int left, int right)
- {
- if(left >= right) return;
-
- int mid = ((right - left) >> 1) + left;
- //先处理左右两部分
- //[left, mid] [mid + 1, right]
- mergeSort(nums, left, mid);
- mergeSort(nums, mid + 1, right);
- //处理一左一右两部分
- int cur1 = left, cur2 = mid + 1, i = 0;
- while(cur1 <= mid && cur2 <= right)
- {
- if(nums[cur1] <= nums[cur2])
- {
- tmpNums[i] = nums[cur2];
- tmpIndex[i++] = index[cur2++];
- }
- else
- {
- ret[index[cur1]] += right - cur2 + 1;
- tmpNums[i] = nums[cur1];
- tmpIndex[i++] = index[cur1++];
- }
- }
- //处理可能没处理完的排序过程
- while(cur1 <= mid)
- {
- tmpNums[i] = nums[cur1];
- tmpIndex[i++] = index[cur1++];
- }
- while(cur2 <= right)
- {
- tmpNums[i] = nums[cur2];
- tmpIndex[i++] = index[cur2++];
- }
- //还原数组
- for(int i = left; i <= right; i++)
- {
- nums[i] = tmpNums[i - left];
- index[i] = tmpIndex[i - left];
- }
- }
- };
给定一个数组 nums
,如果 i < j
且 nums[i] > 2*nums[j]
我们就将 (i, j)
称作一个重要翻转对。
你需要返回给定数组中的重要翻转对的数量。
示例 1:
输入: [1,3,2,3,1] 输出: 2
示例 2:
输入: [2,4,3,5,1] 输出: 3
注意:
50000
。这道题和逆序对那道题非常相似,逆序对是求前面的数大于后面的数的个数,而这道题是求前面的数大于后面数的两倍的个数
解法一:暴力枚举
暴力枚举就是固定一个数,枚举后面的数,以此类推,找到符合条件组合的个数,时间一定会超时,就不多说了,看下面的解法
解法二:分治
讲一个数组分为两部分,先求左边的翻转对的个数,再求右边翻转对的个数,再求一左一右的翻转对的个数
那么接下来,需要考虑怎么使用归并,能够解决此题
依旧是两种策略:
策略一:计算当前元素后面,有多少元素的2倍比我小(降序)
策略二:计算当前元素前面,有多少元素的一半比我大(升序)
与前面的计算方式不同的是,逆序对那道题,由于与递归排序的 if 语句中的判断条件是一样的,都是 nums[cur1] 与 nums[cur2] 比较,所以可以在递归的过程中,进行 ret++
而这道题是 nums[cur1] 与 2 * nums[cur2] 进行比较,不同的判断条件可能会导致遗漏,
所以在归并之前,先来判断这种情况有多少个翻转对,如果采用的是策略一,就让 ret += right - cur2 + 1,直到 cur1 <= mid 这个判断条件结束,下面再进行这一次的归并排序,以此类推
代码如下:
- class Solution
- {
- int tmp[50010]; //辅助数组
- public:
- int reversePairs(vector<int>& nums)
- {
- return mergeSort(nums, 0, nums.size() - 1);
- }
-
- int mergeSort(vector<int>& nums, int left, int right)
- {
- if(left >= right) return 0;
- int ret = 0;
- //根据中间元素划分区间
- int mid = ((right - left) >> 1) + left;
- //计算左右两侧的翻转对
- ret += mergeSort(nums, left, mid);
- ret += mergeSort(nums, mid + 1, right);
- //先计算翻转对的数量
- int cur1 = left, cur2 = mid + 1, i = 0;
- while(cur1 <= mid) //降序
- {
- while(cur2 <= right && nums[cur1] / 2.0 <= nums[cur2]) cur2++;
- if(cur2 > right) break;
- ret += right - cur2 + 1;
- cur1++;
- }
- //合并两个有序数组
- cur1 = left, cur2 = mid + 1;
- while(cur1 <= mid && cur2 <= right)
- {
- tmp[i++] = nums[cur1] <= nums[cur2] ? nums[cur2++] : nums[cur1++];
- }
- //处理没有处理完毕的数组
- while(cur1 <= mid) tmp[i++] = nums[cur1++];
- while(cur2 <= right) tmp[i++] = nums[cur2++];
- //恢复数组
- for(int i = left; i <= right; i++) nums[i] = tmp[i - left];
- return ret;
- }
- };
分治中,关于归并的题目到此结束
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