▽算子公式证明_从格林公式到柯西公式

写在前面：关于曲线积分符号的规定，是由于物理界盛行右手定则，可能对数学符号规定方面造成了一定影响。所以对于曲线积分的符号做如下规定：当沿着区域的边界移动时，区域内部在你的左侧，则符号为正。所以如果是环状结构的区域，外圈逆时针积分为正，内圈顺时针积分为正。所有没有标注顺时针还是逆时针的积分曲线（主要是公式中），默认取正方向。

在十九世纪，英国数学家乔治·格林(George Green)偶然想到一个问题：能否用某个区域的边界和边界上的函数来研究该区域内部的情况？

说人话就是，能否把线积分变成面积分？

由此诞生了伟大而深刻的格林公式：

其中，

单连通区域， 个闭区域边界上的曲线积分，等于

被积函数经过一种操作以后在面积上积分。下面我们讨论两点：

1、因为要将原被积函数

2、这个式子只能在单连通区域(没有“洞”)成立，所以对于复连通区域(有“洞”)，这个“洞”也叫奇点，就是不满足条件1的点。可以给奇点外面加一个边界形成一个新的、具有两个边界的复连通区域，就像这样：

其中

前文中提到的对边界函数

求旋度，这里给出一个不同于数学分析中一般方法的旋度定义。

先讲个有趣的东西：如果我绕着一个长方形逆时针走，这相当于一个正向的曲线积分。当我把两个长方形拼在一起，每个都是逆时针走，你会惊奇地发现，会相当于绕着拼接以后的长方形的边走。

正是如此，闭合区域边界上的曲线积分，我们叫它环路积分，可以分解成无数个小的环路积分，它们叠加在一起构成最大的那个环路积分。而那些所谓小的环路积分，我们叫它微元环路积分，这个微元环路积分实际上是一种旋转半径无穷小的旋转。

现在我们来看在物理中，是如何定义“旋转”的。

首先，旋转具有线速度

平面上逆时针旋转具有平面向外的角动量 不变的情况下微分式为：

我们再类比到积分的问题上，我们可以将区域边界上的曲线积分从第一型曲线积分(对线长)的微元写为第二型曲线积分(对坐标)的微元：

取坐标基底为

又因为

而我们的

我们把

叫做“ 的旋度”，它表征着微元环路积分，当它等于 的时候，我们就说函数 在 上是无旋的。这个时候无论你怎么积分，只要是闭合环路积分，值一定是

至此，我们可以写下开篇那个格林公式了：

当我们把

这时的

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现在，我们来看一个走向柯西公式的问题：闭区域上有有限个奇点的函数，环路积分的值与积分路径（环路）的关系。

假设有一个在

区域中除了奇点 外无旋的函数

我们将

现寻找它对应的曲线积分，它有两条边界，一个是

于是我们成功地证明对于包围孤立奇点的环路，可以将积分环路从

包围孤立奇点的环路中，任意两条环路都是可以替换的。(内圈正向积分+外圈正向积分=0，于是外圈正向积分=内圈反向积分。而内圈的选取是任意的，可以无限接近于孤立奇点。对于奇点不是孤立的，而是一个区域的情况，内圈的选取也还是任意的，但必须包围奇点区域)。

很容易想到，环路可替换，即积分与路径无关的充要条件是

，即无旋。

这个非常重要的一个应用就是把复杂环路的环路积分，通过奇点转化成简单环路的环路积分。比如对于奇点是

对于

也就是说只要你的边界围出来的区域是函数在上面无旋的单连通域，正向边界积分的和就是

。

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现在，我们把视角转到复平面上来。我们之前提到条件1

1、因为要将原被积函数

实现在

上的积分，并且出现了导数结构，自然要求原被积函数

需要在

上定义，各偏导数都存在，且偏导数与函数在

上都连续。

这是在实空间的说法，复平面性质特殊，有C-R条件(柯西黎曼条件)，讲的是解析性，我只要说在区域内解析，可导(可微)、连续、甚至实部和虚部是调和函数的性质都有了。

所以我们改一下格林公式的条件1以适应复平面：

1*、

首先我们用格林公式来推导柯西定理，它会告诉我们旋度和解析性到底有什么关系。

柯西定理是说解析函数在解析域上有

其中

因为解析性，函数

它的旋度是

这是因为

这说明解析函数的性质包括了在解析域内无旋。

万事俱备，只欠东风，现在来考虑复平面如下环路积分包围孤立奇点的情况，区域情况如图一，因为是复平面，奇点

因为为了结果的广泛性，我们让孤立奇点的位置可以取区域内任意位置

虽然被积函数有奇点

由于前面的结论，我们将

其中

当

故

柯西公式，成了。关于积分

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附录:

对于积分

又因为环路积分是绕着闭合曲线积分一周，若包含原点则：

否则：