【状压DP】状态压缩动态规划入门超详解

感觉好多讲状压DP的博客都有点乱，我就结合各路大佬的博客，加上我自己的理解，总结出一篇博客来，供初学者参考

一、概述

1.状态压缩

状态压缩就是使用某种方法，简明扼要地以最小代价来表示某种状态，通常是用一串01数字（二进制数）来表示各个点的状态。这就要求使用状态压缩的对象的点的状态必须只有两种，0 或 1；当然如果有三种状态用三进制来表示也未尝不可。

2.使用条件

从状态压缩的特点来看，这个算法适用的题目符合以下的条件：

1. 解法需要保存一定的状态数据（表示一种状态的一个数据值），每个状态数据通常情况下是可以通过2进制来表示的。这就要求状态数据的每个单元只有两种状态，比如说棋盘上的格子，放棋子或者不放，或者是硬币的正反两面。这样用0或者1来表示状态数据的每个单元，而整个状态数据就是一个一串0和1组成的二进制数。
2. 解法需要将状态数据实现为一个基本数据类型，比如int，long等等，即所谓的状态压缩。状态压缩的目的一方面是缩小了数据存储的空间，另一方面是在状态对比和状态整体处理时能够提高效率。这样就要求状态数据中的单元个数不能太大，比如用int来表示一个状态的时候，状态的单元个数不能超过32（32位的机器），所以题目一般都是至少有一维的数据范围很小。

3.状压DP

状压DP，顾名思义，就是使用状态压缩的动态规划。

动态规划问题通常有两种，一种是对递归问题的记忆化求解，另一种是把大问题看作是多阶段的决策求解。这里用的便是后一种，这带来一个需求，即存储之前的状态，再由状态及状态对应的值推演出状态转移方程最终得到最优解。

二、位运算

一般基础的状压就是将一行的状态压成一个数，这个数的二进制形式反映了这一行的情况。由于使用二进制数来保存被压缩的状态，所以要用到神奇的二进制位运算操作，将一个十进制数转成二进制进行位运算操作再转回十进制数。

包括

• 按位与&（有0为0，其实就是且）
• 按位或|（有1为1，其实就是或）
• 按位取反~（注意负数补码的符号，最前面的第一位是1）
• 异或^（相同为0，不同为1）
• 左移<<
• 右移>>

对于位运算还是不太熟悉的同学请点我复习一下

下面是由江苏省淮阴中学薛志坚同（da）学（lao）整理的一些常见操作：

$\%\%\%$

建议花几分钟把每一条都搞懂，然后跟我一起大（mo）赞（bai）位运算的神奇$\%\%\%$
初试化状态的时候要看清条件，什么要，什么不要。

一般情况下要预处理前k行（k由题目定）。

Dp时题目给的条件和fit函数、state数组都要检查。

最最重要的一点：

位反（~ )  >  算术  >  位左移、位右移  >  关系运算 
>  位与  >  位或  >  位异或  >  逻辑运算
1
2

所以一般位运算最好打括号。

三、例题引入

1、入门例题【例1】填满棋盘

有一个NM(N<=5,M<=1000)的棋盘，现在有12及2*1的小木块无数个，要盖满整个棋盘，有多少种方式？答案只需要mod1,000,000,007即可。

例如：对于一个22的棋盘，有两种方法，一种是使用2个12的，一种是使用2个2*1的。

【算法分析】

在这道题目中,N和M的范围本应该是一样的，但实际上，N和M的范围却差别甚远，对于这种题目，首先应该想到的就是，正确算法与这两个范围有关！N的范围特别小，因此可以考虑使用状态压缩动态规划的思想，请看下面的图：

本思路来自博客动态规划之状态压缩dp入门，不过原博没有图，我帮他补个图，再优化一下内容。

假设第一列已经填满，则第二列的摆设方式，只与第一列对第二列的影响有关。同理，第三列的摆设方式也只与第二列对它的影响有关。那么，使用一个长度为$N$的二进制数$state$来表示这个影响，例如：$4(00100)$就表示了图上第二列的状态。

因此，本题的状态可以这样表示：

d p [ i ] [ s t a t e