算法总结归纳（第十二天）（剩余的图论）

目录

一、图论

Ⅰ、spfa算法

spfa求最短路

思路：

代码：

spfa判断负环

思路：

代码：

Ⅱ、floyd算法

思路：

代码：

Ⅲ、prime算法

思路：

代码：

Ⅳ、kruskai算法

思路：

代码：

Ⅴ、染色法判定二分图

思路：

代码：

Ⅵ、匈牙利算法（二分图）

思路

代码：

---

一、图论

Ⅰ、spfa算法

spfa求最短路

题目链接：spfa求最短路

思路：

本题使用的是队列求解，思路与dijkstra有相似之处，使用邻接表进行存储，使用w数组存储每个边的权重，然后t表示上一层的结点，j表示它的儿子结点，dist[j] > dist[t] + w[i]来更新边长，从而使得边长变为最小。

代码：

#include<iostream>
using namespace std;
#include<cstring>
#include<queue>
const int N = 1e6 + 10;
int e[N], ne[N], h[N], w[N], idx;
int dist[N];
bool st[N], cnt;
int n, m;
 
void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b; ne[idx] = h[a]; w[idx] = c; h[a] = idx ++;
}
 
int spfa()
{
    memset(dist, 0x3f3f3f3f, sizeof(dist));
    dist[1] = 0;
    st[1] = true;
    queue<int> q;
    q.push(1);
    while(q.size())
    {
        int t = q.front();
        q.pop();
        st[t] = false;
        
        for(int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            
                if(dist[j] > dist[t] + w[i])
                {
                    dist[j] = dist[t] + w[i];
                    if(!st[j])
                    {
                        q.push(j);
                        st[j] = true;
                    }
                    
                }
        }
    }
    if(dist[n] == 0x3f3f3f3f){
        cnt = true;
        return 1;
    }
    
    return dist[n];
    
}
 
int main()
{
    cin>>n>>m;
    memset(h, -1, sizeof(h));
    while( m -- )
    {
        int x, y, z;
        cin>>x>>y>>z;
        add(x, y, z);
    }
    
    int t = spfa();
    if(cnt) puts("impossible");
    else cout<<t;
    return 0;
}

spfa判断负环

题目链接：spfa判断负环

思路：

本题判断负环就是根据判断是否有环来判断，cnt数组用来判断当前点经过的边数有几条，如果大于n条边，说明经过了n + 1个点。

代码：

#include<iostream>
using namespace std;
#include<cstring>
#include<queue>
const int N = 1e5 + 10;
int idx, e[N], ne[N], h[N], w[N];
int n, m;
bool st[N];
int cnt[N], dist[N];
 
void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b; ne[idx] = h[a]; w[idx] = c; h[a] = idx++;
}
 
bool spfa()
{
    queue<int> q;
    
    for(int i = 1; i<=n; i++){
        q.push(i);
        st[i] = true;
    }
    
    while(q.size())
    {
        int t = q.front();
        q.pop();
        st[t] = false;
        
        for(int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if(dist[j] > dist[t] + w[i]){
                dist[j] = dist[t] + w[i];
                cnt[j] = cnt[t] + 1;
                if(cnt[j] >= n) return true;
                if(!st[j])
                {
                    q.push(j);
                    st[j] = true;
                }
            }
        }
    }
    return false;
}
 
int main()
{
    cin>>n>>m;
    memset(h, -1, sizeof(h));
    while( m -- )
    {
        int a, b, c;
        cin>>a>>b>>c;
        add(a, b, c);
    }
    if(spfa()) puts("Yes");
    else puts("No");
    return 0;
}

Ⅱ、floyd算法

题目链接：floyd求最短路

思路：

floyd算法就是简单的三重循环，时间复杂度是n的三次方。

多源汇问题，具有多个源点，算法实现基于动态规划推出来的，直接背熟模板就可以。

for(int k = 1; k <= n; k++){
        for(int i = 1; i<=n; i++){
            for(int j = 1; j<=n; j++){
                d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
            }
        }
    }

上面这段是核心代码，只需要背熟就好。具体推导可问度娘。

代码：

#include<iostream>
using namespace std;
 
const int N = 210, INF = 1e9;
 
int n, m, k, x, y, z;
int d[N][N];
 
void floyd()
{ 
   for(int k = 1; k <= n; k++){
        for(int i = 1; i<=n; i++){
            for(int j = 1; j<=n; j++){
                d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
            }
        }
    }
}
 
 
 
int main()
{
    cin>>n>>m>>k;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        for(int j = 1; j<=n; j++){
            if(i == j) d[i][j] = 0;
            else d[i][j] = INF;
        }
    }
    
    while(m -- )
    {
        cin>>x>>y>>z;
        d[x][y] = min(d[x][y], z);
    }
    floyd();
    
    while( k -- )
    {
        cin>>x>>y;
        if(d[x][y] > INF / 2) puts("impossible");
        else cout<<d[x][y]<<endl;
    }
    return 0;
}

Ⅲ、prime算法

题目链接：prime求最小生成树

思路：

prime判断最小生成树，就是使用一个dt数组表示当前数组距离生成树的距离大小，同时使用邻接矩阵g进行图的存储，st数组表示的是否已经存储进树里面。

代码：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
 
const int N = 510;
int g[N][N];//存储图
int dt[N];//存储各个节点到生成树的距离
int st[N];//节点是否被加入到生成树中
int n, m;//n 个节点，m 条边
 
void prim()
{
    memset(dt,0x3f, sizeof(dt));//初始化距离数组为一个很大的数（10亿左右）
    int res= 0;
    dt[1] = 0;//从 1 号节点开始生成 
    for(int i = 0; i < n; i++)//每次循环选出一个点加入到生成树
    {
        int t = -1;
        for(int j = 1; j <= n; j++)//每个节点一次判断
        {
            if(!st[j] && (t == -1 || dt[j] < dt[t]))//如果没有在树中，且到树的距离最短，则选择该点
                t = j;
        }
 
        //如果孤立点，直返输出不能，然后退出
        if(dt[t] == 0x3f3f3f3f) {
            cout << "impossible";
            return;
        }
 
 
        st[t] = 1;// 选择该点
        res += dt[t];
        for(int i = 1; i <= n; i++)//更新生成树外的点到生成树的距离
        {
            if(dt[i] > g[t][i] && !st[i])//从 t 到节点 i 的距离小于原来距离，则更新。
            {
                dt[i] = g[t][i];//更新距离
            }
        }
    }
 
    cout << res;
 
}
 
 
int main()
{
    memset(g, 0x3f, sizeof(g));//各个点之间的距离初始化成很大的数
    cin >> n >> m;//输入节点数和边数
    while(m --)
    {
        int a, b, w;
        cin >> a >> b >> w;//输出边的两个顶点和权重
        g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b],w);//存储权重
        //如果有重边，那么选择权重最小的那一个。
    }
 
    prim();
    return 0;
}

Ⅳ、kruskai算法

题目链接：kruskal算法求最小生成树

思路：

本题使用并查集的思路，开始每个点都是独立的，当合并之后，res加上边的权重，然后将两个点的祖宗合并，然后就相当于合并一条边，cnt表示合并的边的条数，n个点，说明至少有n - 1条边，如果小于n - 1,那说明图不连通。

代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N = 2e5 + 10;
int p[N]; int n, m;
int cnt = 0, res = 0;//记录存进去的边长
 
struct E
{
  int a, b, w;
  bool operator < (const E& rhs){//通过边长进行排序
        return this->w < rhs.w;
    }
} edge[N];
 
int find(int x)
{
    if(p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}
 
void klskr()
{
    for(int i = 1; i<=m; i++){
        int pa = find(edge[i].a);
        int pb = find(edge[i].b);
        if(pa != pb){
            res += edge[i].w;
            p[pa] = pb;
            cnt ++;
        }
    }
}
 
int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i = 1; i<=n; i++) p[i] = i;
    for(int i = 1; i<=m; i++){
        int a, b, w;
        cin>>a>>b>>w;
        edge[i] = {a, b, w};
    }
    sort(edge + 1, edge + m + 1);
    klskr();
    
    if(cnt < n - 1)
    {
        cout<<"impossible";
        return 0;
    }
    cout<<res;
    
    return 0;
}

Ⅴ、染色法判定二分图

题目链接：染色法判定二分图

思路：

使用邻接表存储图。dfs用来判断于结点染色与上一层结点是否相同。相同，说明不是二分图，不相同，说明是二分图。

代码：

#include<iostream>
using namespace std;
#include<cstring>
#include<algorithm>
 
const int N = 1e5 + 10, M = 2e5 + 10;
 
int idx, e[M], ne[M], h[N];
int color[N];
 
int n, m;
 
void add(int a, int b)
{
    e[idx] = b; ne[idx] = h[a]; h[a] = idx ++ ;
}
 
bool dfs(int u, int c)
{
    color[u] = c;
    for(int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])
    {
        int t = e[i];
        if(!color[t])
        {
            if(!dfs(t, 3 - c)) return  false;
        }
        else if(color[t] && color[t] != 3 - c)
        {
            return false;
        }
        
    }
    return true;
}
 
int main()
{
    memset(h, -1, sizeof(h));
    cin>>n>>m;
    while( m -- )
    {
        int a, b;
        cin>>a>>b;
        add(a, b); add(b, a);
    }
    
    for(int i = 1; i<=n; i++)
    {
        if(!color[i]){
            if(!dfs(i, 1)){
                puts("No");
                return 0;
            }
        }
    }
    puts("Yes");
    return 0;
}

Ⅵ、匈牙利算法（二分图）

题目链接：匈牙利算法

思路

本题也是二分图类型，本题，match表示当前点是否有配对的点，如果有其它配对点或者没有配对点则可以和当前点配对，否则就不配对。

代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
 
const int N = 510, M = 1e5 + 10;
int e[M], ne[M], idx, h[N];
int match[N];
int n1, n2, m;
bool st[N];
 
void add(int a, int b)
{
    e[idx] = b; ne[idx] = h[a]; h[a] = idx ++;
}
 
bool find(int x)
{
    for(int i = h[x]; i != -1; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        if(!st[j])
        {
            st[j] = true;
            if(match[j] == 0 || find(match[j])){
                match[j] = x;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}
 
int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n1, &n2, &m);
    memset(h, -1, sizeof(h));
    while( m -- )
    {
        int a, b;
        cin>>a>>b;
        add(a, b);
    }
    int res = 0;
    
    for(int i = 1; i<=n1; i++){
        memset(st, false, sizeof(st));
        if(find(i)) res ++;
    }
    cout<<res;
    return 0;
}