从零开始的数模（四）多目标规划_理想点法

一、定义

多目标规划跟一般的规划问题有所不同，多目标规划通常是要求学生做出满足各个优先度要求的最佳抉择。衡量出尽量满足所有需求而得出使得目标最优（如收益最大）的方案。

由于多目标规划跟线性规划完全不同，因此在此需要使用全新的解法。

1.2正负偏差

为了将约束条件转换为等式，使得转换变成对偏差量的求解。在此引入d1,d1_，分别代表正负偏差变量。

d1=max{ fn-dn , 0 }表示决策值超过目标值的部分
d1_=-min{ f-dn , 0 }表示决策值未达到目标值的部分

前面的分段函数，是为了保证正负偏差变量不会出现负数情况

显然决策值只会要么多余目标值要么少于目标值，即b1,b1_中必定有一个为0

1.3模型

 1.4刚性约束和柔性约束

顾名思义，一定要满足的约束条件为刚性约束，尽量满足的约束条件为柔性约束条件。
其中刚性约束条件也可以不使用正负偏差变量代替。

还是看不懂上题！！！

例题

实战

二、基于python的多目标规划

 方法一：线性加权法

该方法应用的关键是要确定每个目标的权重，它反映不同目标在决策者心中的重要程度，重要程度高的权重就大，重要程度低的权重就小。权重的确定一般由决策者给出，因而具有较大的主观性，不同的决策者给的权重可能不同，从而会使计算的结果不同。

方法二：理想点法

        以每个单目标最优值为该目标的理想值，使每个目标函数值与理想值的差的加权平方和最小。

方法三：优先级法

根据目标重要性分成不同优先级，先求优先级高的目标函数的最优值，在确保优先级高的目标获得不低于最优值的条件下，再求优先级低的目标函数。该方法适用于目标有明显轻重之分的问题，也就是说，各目标的重要性差距比较大，首先确保最重要的目标，然后再考虑其他目标。在同一等级的目标可能会有多个，这些目标的重要性没有明显差的距，可以用加权方法求解。

由理想点解知，第一个目标函数的最优值为-53。以第二个目标函数作为目标函数，问题的原始约束条件再加第一个目标函数等于其最优值的约束条件，构造如下的线性规划模型

import numpy as np
import cvxpy as cp
 
c1 = np.array([-2, -3])
c2 = np.array([1, 2])
a = np.array([[0.5, 0.25], [0.2, 0.2], [1, 5], [-1, -1]])
b = np.array([8, 4, 72, -10])
x = cp.Variable(2, pos=True)
 
# 1.线性加权法求解
obj = cp.Minimize(0.5*(c1+c2)@x)
con = [a@x <= b]
prob = cp.Problem(obj, con)
prob.solve(solver='GLPK_MI')
print('\n======1.线性加权法======\n')
print('解法一理想解：', x.value)
print('利润：', -c1@x.value)
print('污染排放：', c2@x.value)
 
# 2.理想点法求解
obj1 = cp.Minimize(c1@x)
prob1 = cp.Problem(obj1, con)
prob1.solve(solver='GLPK_MI')
v1 = prob1.value  # 第一个目标函数的最优值
obj2 = cp.Minimize(c2@x)
prob2 = cp.Problem(obj2, con)
prob2.solve(solver='GLPK_MI')
v2 = prob2.value  # 第二个目标函数的最优值
print('\n======2.理想点法======\n')
print('两个目标函数的最优值分别为：', v1, v2)
obj3 = cp.Minimize((c1@x-v1)**2+(c2@x-v2)**2)
prob3 = cp.Problem(obj3, con)
prob3.solve(solver='CVXOPT')  # GLPK_MI 解不了二次规划，只能用CVXOPT求解器
print('解法二的理想解：', x.value)
print('利润：', -c1@x.value)
print('污染排放：', c2@x.value)
 
# 3.序贯法求解
con.append(c1@x == v1)
prob4 = cp.Problem(obj2, con)
prob4.solve(solver='GLPK_MI')
x3 = x.value  # 提出最优解的值
print('\n======3.序贯法======\n')
print('解法三的理想解：', x3)
print('利润：', -c1@x3)
print('污染排放：', c2@x3)