数学建模|多目标规划+序贯算法|简要原理+实例matalb代码实现_matlab目标规划代码

1. 核心原理简介

1.1 三个重要概念

(1) 正负偏差变量

【衡量每个目标的完成情况】

设 $\[\mathop f\nolimits_i (i = 1, \cdots l)\]$ 为第i个目标函数的实际值；

设 $\[\mathop d\nolimits_i^0 \]$ 表示 $\[\mathop f\nolimits_i \]$ 的目标值

• 正偏差变量$\[\mathop d\nolimits_i^ + \]$  【表示实际值超过目标值的部分】

 $\[\mathop d\nolimits_i^ + = \max \left\{ {\mathop f\nolimits_i - \mathop d\nolimits_i^0 ,0} \right\}\]$

•  负偏差变量$\[\mathop d\nolimits_i^ - \]$ 【表示实际值未达到目标值的部分】

$\[\mathop d\nolimits_i^ - = - \min \left\{ {\mathop f\nolimits_i - \mathop d\nolimits_i^0 ,0} \right\}\]$ 

 实例说明：

目标函数实际值$\[\mathop f\nolimits_1 \]$	目标值$\[\mathop d\nolimits_1^0 \]$	正偏差变量 $\[\mathop d\nolimits_1^ + \]$	负偏差变量 $\[\mathop d\nolimits_1^ - \]$	意义
收入50万	不少于60万	0	10	未到达还有10万
收入70万		10	0	超出10万

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 （2） 绝对约束与目标约束

• 绝对约束

【必须要满足的条件】

• 目标约束

【允许有偏差→利用正负偏差变量】

实例说明：【含有“尽可能”、“尽量”等关键词】

尽可能使利润不低于56万

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（3）优先因子

【类似“权重”】

给每一个目标一个优先因子P，仅仅是确定各目标的求解次序

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 1.2 序贯算法

【将之前的单目标最优解变成下一个目标的约束条件，然后迭代这个过程】

1.根据模型中各个目标的优先级（优先因子），确定各目标的求解次序

2.求第一级单目标规划的最优值$\[\mathop f\nolimits_1^* \]$（注意要先给最优解附一个初值）

3.以第一 级单目标等于最优值$\[\mathop f\nolimits_1^* \]$为新的约束条件，求第二级目标最优值记为$\[\mathop f\nolimits_2^* \]$

4.依次递推，直到所有目标都求完或不存在可行解为止

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2. 实例建模过程

2.1 实例

某工厂生产产品1和产品2，有关数据如下，请给出方案，设计每天生产产品1、2各多少时，满足下面的要求：

现在的要求是：

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2.2 建模过程

 （1）分析问题（翻译成数学语言）

• 根据原材料拥有量

$\[2\mathop x\nolimits_1 + \mathop x\nolimits_2 \le 11\]$

• 根据生产能力

$\[\mathop x\nolimits_1 + 2\mathop x\nolimits_2 \le 10\]$

• 根据具体要求（因为带有“尽可能”关键词，为目标约束）

$\[\left\{ \begin{array}{l} \mathop x\nolimits_1 \le \mathop x\nolimits_2 \\ \mathop x\nolimits_1 + 2\mathop x\nolimits_2 = 10\\ 8\mathop x\nolimits_1 + 10\mathop x\nolimits_2 \ge 56 \end{array} \right.\]$

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（2）引入正负变差变量 

$\[\left\{ \begin{array}{l} \mathop x\nolimits_1 \mathop { - x}\nolimits_2 \le 0\\ \mathop x\nolimits_1 + 2\mathop x\nolimits_2 = 10\\ 8\mathop x\nolimits_1 + 10\mathop x\nolimits_2 \ge 56 \end{array} \right.\]$                             $\huge \[ \Rightarrow \]$                                  $\[\left\{ \begin{array}{l} \min \mathop d\nolimits_1^ + \\ \min (\mathop d\nolimits_2^ + + \mathop d\nolimits_2^ - )\\ \min \mathop d\nolimits_3^ - \end{array} \right.\]$

【以上不等式变形顺序对应】

• 第一个不等式：因为是≤，所以要求正偏差变量要最小
• 第二个不等式：因为是=，所以要求正偏差和负偏差都要小，所以求和要最小
• 第三个不等式：因为是≥，所以要求负偏差变量要最小

所以得到目标函数：

$\[\min \{ \mathop P\nolimits_1 \mathop d\nolimits_1^ + + \mathop P\nolimits_2 (\mathop d\nolimits_2^ + + \mathop d\nolimits_2^ - ) + \mathop P\nolimits_3 \mathop d\nolimits_3^ - \} \]$ 

P仅仅是优先因子，仅仅决定后面多目标求解顺序，而不是真正意义上的权重值

根据1中原理介绍偏差变量，目标函数看似没有包含变量x，实则每一个偏差变量都要利用x计算 

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（3）模型总结 

• 目标函数:

$\[\min \{ \mathop P\nolimits_1 \mathop d\nolimits_1^ + + \mathop P\nolimits_2 (\mathop d\nolimits_2^ + + \mathop d\nolimits_2^ - ) + \mathop P\nolimits_3 \mathop d\nolimits_3^ - \} \]$

•  约束条件:

$\[stc:\left\{ \begin{array}{l} 2\mathop x\nolimits_1 + \mathop x\nolimits_2 \le 11\\ \mathop x\nolimits_1 \mathop { - x}\nolimits_2 - \mathop d\nolimits_1^ + + \mathop d\nolimits_1^ - = 0\\ \mathop x\nolimits_1 + 2\mathop x\nolimits_2 - \mathop d\nolimits_2^ + + \mathop d\nolimits_2^ - = 10\\ 8\mathop x\nolimits_1 + 10\mathop x\nolimits_2 - \mathop d\nolimits_3^ + + \mathop d\nolimits_3^ - {\rm{ = }}56\\ \mathop x\nolimits_1 ,\mathop x\nolimits_2 ,\mathop d\nolimits_i^ + ,\mathop d\nolimits_i^ - \ge 0,i = 1,2,3 \end{array} \right.\]$

 “多退少补”原则【将目标约束中的不等式变成等式】

$\[ - \mathop d\nolimits_1^ + + \mathop d\nolimits_1^ - \]$ 表示：减去“超过”的，加上“未达到”

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3. Matlab实现

 3.1 代码

clc,clear
%初始化优化问题框架
 
%创建优化变量
%%2个产品【用x表示】【最小值=0】
x = optimvar('x',2,'LowerBound',0);
%%3个目标函数的正偏差变量 【最小值=0】
dp = optimvar('dp',3,'LowerBound',0);
%%3个目标函数的负偏差变量 【最小值=0】
dm = optimvar('dm',3,'LowerBound',0);
 
%创建优化问题对象
p = optimproblem('ObjectiveSense','min');
 
%设置约束条件
 
%%设置绝对约束
p.Constraints.cons1 = (2*x(1)+x(2)<=11);
%%设置3个目标约束
p.Constraints.cons2 = [x(1)-x(2)-dp(1)+dm(1)==0
                       x(1)+2*x(2)-dp(2)+dm(2)==10
                       8*x(1)+10*x(2)-dp(3)+dm(3)==56];
 
%设置目标函数
obj = [dp(1);dm(2)+dp(2);dm(3)];
 
% 单级目标函数的最优值goal，初始设为足够大的数
% 非常宽松的约束就等于没有约束，确保第一级的正常运算
goal=100000*ones(3,1);
 
%序贯算法（迭代最优）
for i=1:3
    % 重要：更新上一级的最优值，作为该级的约束条件;
    p.Constraints.cons3=[obj<=goal];
    p.Objective = obj(i);
    %求解【 针对优化问题使用solve，会自动选择求解方式】
    [sx,fval] = solve(p);
    %【下面两行可注释】只是展示每一次迭代结果
    fprintf('第%d级目标求解为：\n',i)
    fval, xx=sx.x, sdm=sx.dm, sdp=sx.dp
    %sx类似于python中创建的类【这里指优化类】
    %x（最后得到的优化方案）、dm（负偏差变量）、dp（正偏差变量）为3个sx下的对象
    goal(i) = fval;
end

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3.2 结果展示

 表示：每天应生产产品一2件，产品二4件

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4. 总结

（1）问题函数optimproblem【用来创建优化问题】

prob=optimproblem('ObjectiveSense','max');

• ObjectiveSense是目标类型，后面跟的‘max’为求最大优化

• 默认为求min

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（2） 求解函数`optimvar`【一种类似于赋值的函数】

x=optimvar('x',1,2,'TYPE','integer','LowerBound',0,'UpperBound',inf);

• 第一个‘x’里面是变量名，后面 1 2 为变量的行 列

• ‘TYPE’，后面定义的是该函数所属类型，比如说integer整数型，double双精度型号等

• ‘LowerBound'下界；'UpperBound'上界

（3） 设置约束条件prob.Constraints.cons1

p.Constraints.cons1 = ( 2*x(1)+x(2)<=11 )
 
p.Constraints.cons2=[x(1)-x(2)+dm(1)-dp(1)==0       
                     x(1)+2*x(2)+dm(2)-dp(2)==10
                     8*x(1)+10*x(2)+dm(3)-dp(3)==56];

• p为优化问题创建的对象

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（4） 设置目标函数pro.Objective

obj=[dp(1); dm(2)+dp(2); dm(3)];
p.Objective=obj(i);

• p为优化问题创建的对象

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（5） sovle函数求解

[sx,fval]=solve(p);

• p为优化问题创建的对象

• sx为最优值变量（理想）

• fval为在最优变量下的目标函数值