数学术语——范数(norm)

目录

1.  单词“norm”的英语词源

2.“norm”在数学中的含义

3.“范”的中文含义

4. 向量的范数

1.  单词“norm”的英语词源

单词“norm”来自法语“norme”，源头是拉丁语“norma”，词义为“carpenter's square, rule, pattern(木工直方尺(直角尺)，直尺，模型)”。即为了获得一些直角的东西，或者方形的东西，而采用的模型。

2.“norm”在数学中的含义

    在数中，“norm”至少有3个含义。前两个来自代数和分析，可以应用于相同的事物，也容易混淆。

    数论(然后是代数)中的“norm”来自术语“norma”，由  Carl Friedrich Gauss (1777-1855)在1832年引入，最初出现在他的著作<< Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio secunda>>(残差双二次理论，第二条评论)中。Gauss当时正在考虑复数指数(Gauss整数)  及其“norma”  。

在1856提，W. R. Hamilton 使用“norm”来表示任意复数  对应的  。《牛津英语词典》(OED)引用了他的论文笔记(Sir W. R. Hamilton (1967) III.657章节，H. Halberstam & R. E. Ingram Math 编辑)，“当 a 和 b 是整数且  ，  称为一个复数；它的‘norm’是   ；因此，一个乘积的‘norm’等于其因子的‘norm’的乘积。”(注：在这里，复数中指的“范数”是复数长度的平方。)

    在1911-1912年，M. Bôcher & L. Brand使用“norm”来表示具有 k 个分量的复数量   对应的    (“关于具有无限多个变量的线性方程”，<<数学年鉴>>，第 2 系列，13 ,第168页)。(注：在这里，复数向量中指的“范数”是复向量每个分量的长度的平方和。)

    在1967年，S. MacLane & G. Birkhoff 在 Algebra v. 187 中引用，“具有元素  的每个二次域   ，其作为自同构(automorphisms )，都有这个恒等式且  。其乘积  称为 σ 的‘norm’ ，记为 N(σ)。”

“norm”在分析中与距离联系在一起，要求范数满足三角不等式，而Gauss范数则不需要。

    在1921 年，Albert A. Bennett“Normalized Geometric Systems”，Proc. National Acad. Sci. U.S.A. 7第 84页：“一个复数量的范数或数值的概念,  ，即  ，当它出现在代数中时，或多或少可以直接推广到更广泛的矩阵系统。”

在1922年，S. Banach在<<Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations integrales>>(关于抽象集合中的运算和积分方程的应用)( Fundamenta Mathematicae,3, 第135-136页。示例 (第167-168页))中，为一个抽象线性空间(abstract linear space )定义了“la norme”，其定义为  。

    矩阵的范数。 A. S. Householder 在他的<< Theory of Matrices in Numerical Analysis >>(数值分析中的矩阵理论)(1964 年，第 55 页)中写道：“范数的概念是泛函分析的基础，但直到最近才经常出现在数值分析或矩阵理论的文献中。” 1940 年左右情况发生了变化。例如，术语“范数”出现在 Harold Hotelling 的“Some New Methods in Matrix Calculation(矩阵计算中的一些新方法)”中(<< Annals of Mathematical Statistics >>(数学统计年鉴)，14，(1943)，第 11 页),Albert H. Bowker“On the Norm of a Matrix(关于矩阵的范数)”对范数进行了一般性讨论(Annals of Mathematical Statistics, 18,(1947), 285-288)。Hotelling 使用的范数是“矩阵的绝对值”，出现在J. H. M. Wedderburn编辑的<<Lectures on Matrices >>(矩阵讲座)(1934年)8.09(第 125页)中。Wedderburn追溯这个概念一直到 1887年。  

    另一种用法，与以上几种都不相关，指的是Riemann积分中一个区间的一个划分的范数，用于表示子划分的良好度(fineness)。出现在Henry John Stephen Smith的“On the Integration of Discontinuous Functions(论不连续函数的积分)”中，1875 年 6 月 10 日在伦敦数学学会上宣读：“我们可以将 d 称为除法的范数；显然，有无限多个具有给定范数的不同划分；并且适用于任何给定范范的划分也适用于每一个更大的范数。”

    向量的范数。Erhard Schmidt在他的1908年论文“Über die Auflösung linearer Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten”(Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo,25 (1908))的第57页中，他定义了一个函数 A(x)(x = 1,2,3,...)，他在脚注中称，这个函数可以被视为一个无限维空间中的向量，他称一个正的量|| A||(Euclid范数)为长度，如果向量的长度等于1，他称其为“normirt”。

3.“范”的中文含义

与英语“norm”相对应的中文“范”的接近的含义：

(1) 模型，模子。

(2) 铸造器物的模型，也指用模型浇铸。

(3) 典范，法则。

(4) 度量，器具。

因此，数学中的“范数”，可理解为“用于度量某个数学量的模型”。

4. 向量的范数

      令 ℝ 表示实数集 (我们用  表示由实数组成的 n 元组   。其中， 表示  的分量，。向量的下划线符号很容易手写，比常用的粗体更容易，而且比在符号上画一个小箭头看起来更不尴尬。我们将在处理离散信号和离散Fourier变换以及二维和更高维度的Fourier变换时再次使用这种表示法。如果你想使用自己的符号，那很好，但是要选择一些东西——你确实需要一些符号来区分向量和标量。

         的长度，或称范数(norm)是：

         。

写成双竖线大概是为了与绝对值符号相区分，但在不引混淆的情况下也写成||形式。