论文笔记——Influence Maximization on Undirected Graphs: Toward closing the (1 − 1/e) Gap_im问题最大度启发式算法

从理论计算机角度出发进行Influence MaximizationHeuristic algorithm

Influence Maximization（IM）领域的算法主要分为两类，像是之前看到的VoteRank，K-shell等影响力最大化算法都是启发式算法（Heuristic algorithm），从网络结构出发设计算法选取种子节点。作为IM领域的另一个分支，近似算法（Approximate Algorithm）是从理论计算机（TCS）角度出发解决IM问题，最经典的就是贪心算法（Greedy Algorithm），被证明达到了$1-(1/e)$的近似。这类算法和启发式算法最大的区别就是具有理论保证，也就是这类算法在任何网络上最坏的情况下也能跑到某个近似值，相较而言稳定了许多。这篇论文是发表在计算机经济学顶会上的一篇paper，属于近似算法，从TCS角度进行了IM问题的探讨。其主要贡献为：
IM在IC和LT模型上都是APX-hard（对于任意常数$\tau$，IM都存在$1-\tau$的不可近似性）。同样，对于特殊的模型如uniform 以及加权的IC模型也具有APX-hardness的近似。 该paper的主要贡献如下：

也就是下图中红色的部分：

1、铺垫

1.1 IC和LT模型

对于这两个非常经典的模型就不展开细讲了，这里主要是对它们的live-edge版本（live-edge interpretation）进行阐述。

IC模型的live-edge版本

设${\widehat{IC}}_G(S)$为集合$S$通过概率为$p_{u,v}$的边的可达集，那么${\widehat{IC}}_G(S)$则和IC模型等同。值得一提的是，对于uniform IC模型(所有的边权重相同，为一个参数)，节点$u$到$v$的信息传递$=$节点$v$到$u$的传递；而在weighted IC模型中节点$u$到$v$的信息传递$\ne$节点$v$到$u$的传递，$w(u,v)=\frac{1}{deg(v)},w(v,u)=\frac{1}{deg(u)}$；对于无向图（undirected graph），将它看作特殊的有向图。

LT模型的live-edge版本

较IC模型更复杂。设${\widehat{LT}}_G(S)$为集合$S$的可达集，其中，对于节点$v$的邻居$u_1,...,u_T$，第$t$条边被选中的条件为$r\in [{\sum }_{i=1}^{t-1}{w}_{u_i,v},{\sum }_{i=1}^t{w}_{u_i,v}]$，当$r>{\sum }_{i=1}^T{w}_{u_i,v}$时，$v$不进行选边。这里的$r$便为概率，$[{\sum }_{i=1}^{t-1}{w}_{u_i,v},{\sum }_{i=1}^t{w}_{u_i,v}]$便为LT模型中的阈值。

为了直观地理解这个模型，设$v$为一个尚未受感染的顶点，$IN(v)$为其一组已感染的邻居节点，$v$被$IN(v)$中的顶点感染的概率为$Pr(\theta \le {\sum }_{u:u\in IN(v)}w(u,v))={\sum }_{u:u\in IN(v)}w(u,v)$。同样，节点$u$和$v$的传播在uniform LT模型（每条边$(u,v)$的权重为$\frac{1}{deg(v)}$）以及undirected LT模型中依然是不对称的。

1.2 PCP定理

对于3-SAT的一个案例$\varphi$，存在常数$d$以及$\gamma \in [0,1]$使得$\varphi$中的每个变量最多出现$d$次，则有：

由PCP定理可得出一个extension：对于图$G=(V,E)$，同样存在常数$d$以及$\gamma \in [0,1]$使得图中节点的度最多为$d$，节点个数为$|V|=3n$，且有：

另一个extension：对于无向图$G=(V,E)$，存在常数$d$以及$\gamma \in [0,1]$使得图中节点的度最多为$d$，对于整数$k$，有：

证明过程详见论文。

2、APX-hardness

对于uniform IC和LT模型，有：

对于加权的IC模型，有：

通过在UIC上引入下面的问题

很明显，这里要证明方法肯定是将IM问题规约到$IndSet$问题。简单总结一下，通过给一个$IndSet$的instance添加哑节点，使得所有节点的度都为$d$，那么当$IndSet$是一个yes instance时（这里用到了公式$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}{b}^2+...+b^{n-1})$），可以推出：

当$IndSet$是NO instance时，推出:

不难发现No下的小于yes下的，因此另

同样，在LT模型上也引入了定理：

3.5的证明过程如下：

LT模型难点在于所有边的概率$p(u,v)$已经由节点的度决定了，所以$p$难以进行调整。在这篇paper中，作者使用了一个小技巧：通过给所有的点都连接哑节点（Dummy nodes），使得所有节点的度为$D$，且$D$足够大。如此一来，$p$的影响就会减小。
对于加权的IC模型，则有：

WIC的证明方法和ULT类似。
对本章进行总结，也是对定理3.2的总结。这里便是文章观点的核心内容。

这个定理也是一个不可近似性，和前面不一样的情况是，YES instance对应了基本上所有点都会被传染。一般的不可近似性说的是yes和no之间有一个gap，但是并没有保证yes对应了多少，no对应了多少。这个定理说的是，即便是yes对应了几乎是N的值，这个不可近似性结论仍然成立。

3、upper bounds

这一章分别对LT、UIC、WIC进行上界分析。可以理解为从不同角度（节点的局部特征）对$InfMax$进行了分析。首先引入"lift"这一概念。

如图所示，lift是原图$G$的变种，用$\hat{G}$表示，存在两个性质：$\hat{G}$中的节点数目$\ge G$中节点数目，且种子节点与非种子节点的连边数目保持一致。

3.1 Uniform IC model

3.2 Linear threshold models

这里要证明的是在LT模型中，每一个种子节点传播个数的上限。可以理解为是从不同角度对我们称该过程为“缩水”。

证明如下：下图为一个非常简单的t树$T$。对于parent节点$u$，一旦$u$被感染，其三个children也会被感染（$p(u,v)=\frac{1}{deg(v)}$=1），故左边的图和右边的图有着同样的效果。得证。
Lamma 4.3 的作用：一个节点在添加了dummy nodes之后，其感染节点的期望仍然不变。


这个推论表明，LT模型在无向图中，在树结构上能达到最大程度的传播力度，而往树结构中添加边往往会造成传播能力的下降。该结论与常识相悖，这是因为添加边这一操作，会对LT模型以及WIC（weighted IC）模型中的节点造成度的变化，进而影响了节点的信息传播能力。总而言之，在图中添加边这一操作，弊大于利。

3.3 Weighted IC model

3.4 Refined upper bounds

由于

故定理4.9和4.10进一步缩小了上界。

这里进一步对“lift”进行改造。Seed依然是root，这里与之前“lift”不同的是，与seed相邻的非种子节点作为中间商赚差价，连接了邻居中的seed nodes和非seed nodes。下图中的${\hat{G}}_A^b$便是新的lift。

对定理4.9进行证明：在${\hat{G}}_A^b$中去掉种子节点S，那么${\hat{G}}_A^b$就成了以中间商为root的树了。对这棵树进行缩水（Lamma 4.3），便可得到中间商及其邻居，中间商以$\frac{{\delta }_v}{deg(v)}$的概率，去感染其非种子邻居，个数为$deg(v)-{\delta }_v$。故该次感染总期望为：


得证。
接着是对Lamma 4.10的证明：和上述证明一致，在缩水之后，每个中间商感染其邻居的概率为$(1-(1-{\frac{1}{deg(v)}}^{{\delta }_v}))\le \frac{{\delta }_v}{deg(v)}$，个数为$deg(v)-{\delta }_v$。故该次感染总期望为：

最后，对于Uniform IC，根据假设$p<\frac{1}{d}$，有：

由于实践中基本上不可能有$p<\frac{1}{d}$，故不再展开UIC的讨论。

4 总结